[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2000年(平成12年)東京大学前期-数学(文科)[1]

2024.02.12記

[1] 図のように底面の半径 $1$ ，上面の半径 $1-x$ ，高さ $4x$ の直円すい台 $A$ と，底面の半径 $1-\dfrac{x}{2}$ ，上面の半径 $\dfrac{1}{2}$ ，高さ $1-x$ の直円すい台 $B$ がある．ただし， $0\leqq x\leqq 1$ である． $A$ と $B$ の体積の和を $V(x)$ とするとき， $V(x)$ の最大値を求めよ．

本問のテーマ

円錐台の体積

2021.01.13記

上面，下面の半径が $r,R$ で高さが $h$ の円錐台の体積は
$\pi\dfrac{(R^2+Rr+r^2)h}{3}$ である．

[解答]
$\dfrac{3V(x)}{\pi}$ $=\{1+(1-x)+(1-x)^2\}\cdot 4x$ $+\dfrac{1+(2-x)+(2-x)^2}{4}(1-x)$
だから，
$\dfrac{12V(x)}{\pi}=16x(x^3-3x^2+3x)+(1-x)(x^2-5x+7)$ $=15x^3-42x^2+36x+7$
となる．微分して増減表をかくことにより，
$x=\dfrac{2}{3}$ で最大となり，このとき $V\Bigl(\dfrac{2}{3}\Bigr)=\dfrac{151\pi}{108}$