2000年(平成12年)東京大学前期-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.12記

[6] (1) $a$ ， $b$ ， $c$ を正の実数とするとき，
$\begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & c & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & y & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
を満たす実数 $x$ ， $y$ ， $z$ を $a$ ， $b$ ， $c$ で表せ．

(2) $a$ ， $b$ ， $c$ が
$1\leqq a\leqq 2$ ， $1\leqq b\leqq 2$ ， $1\leqq c\leqq 2$
の範囲を動くとき，(1)の $x$ ， $y$ ， $z$ を座標とする点 $(x,y,z)$ が描く立体を $\mbox{K}$ とする．立体 $\mbox{K}$ を平面 $y=t$ で切った切り口の面積を求めよ．

(3) この立体 $\mbox{K}$ の体積を求めよ．

2021.01.13記
行列は特に意味はない．上三角行列は積について閉じていて，対角成分は対応する成分の積だから
両辺とも
$\begin{pmatrix} 1 & & \\ 0 & 1 & \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
の形になるので， $(1,2)，(1,3)，(2,3)$ 成分を比較すれば良い．

[大人の解答]
(1) 成分計算により $a+c=y，ab=yz，b=x+z$ だから，
$x=\dfrac{bc}{a+c}，y=a+c，z=\dfrac{ab}{a+c}$

(2) $da+dc=dy$ ， $bda+adb=zdy+ydz$ ， $db=dx+dz$ だから，
$(da+dc)\wedge(bda+adb)\wedge db$ $= dy \wedge (zdy+ydz) \wedge (dx+dz)$
となる．整理して
$b (da\wedge db\wedge dc)=y(dx\wedge dy\wedge dz)$
となるので， $y=a+c$ により，
$dx\wedge dy\wedge dz=\dfrac{b}{a+c}da\wedge db\wedge dc$
となる．よって求める体積は
$\displaystyle\int dxdydz$ $\displaystyle=\int_{a=1}^{a=2}\int_{b=1}^{b=2}\int_{c=1}^{c=2}\dfrac{b}{a+c}dadbdc$
$=\dfrac{3}{2}\displaystyle\int_{a=1}^{a=2}\int_{c=1}^{c=2}\dfrac{1}{a+c}dadc$
$=\dfrac{3}{2}\displaystyle\int_{a=1}^{a=2}\{\log(a+2)-\log(a+1)\} da$
$=\dfrac{3}{2}[\{(4\log 4-4)-(3\log3-3)\}-\{(3\log 3-3)-(2\log2-2)\}$
$=\dfrac{3}{2}(10\log 2 -6\log 3)$
$=15\log 2 -9\log 3$

重積分って便利だね．