[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2000年(平成12年)東京大学前期-数学(文科)[2]

2024.02.12記

[2] $xy$ 平面内の領域 $-1\leqq x\leqq 1$ ， $-1\leqq y\leqq 1$ において
$1-ax-by-axy$
の最小値が正となるような定数 $a$ ， $b$ を座標とする点 $(a,b)$ の範囲を図示せよ．

2021.01.13記

[解答]
$f(x,y)=1-ax-by-axy$ は $x$ を固定すると $y$ の一次関数だから，
$x$ を固定したときの $f(x,y)$ の最小値は $f(x,-1)$ または $f(x,1)$ である．

また， $f(x,-1)，f(x,1)$ はともに $x$ の一次関数であるから，結局　 $f(x,y)$ の最小値は
$f(-1,-1)=1+b$ または $f(-1,1)=1+2a-b$ または $f(1,-1)=1+b$ または $f(1,1)=1-2a-b$ である．

よってこの4つ（実質3つ）の値が正となる $(a,b)$ の範囲である，
$1+b\gt0$ かつ $1+2a-b\gt 0$ かつ $1-2a-b\gt 0$
を図示すれば良い．これは3点 $(-1,-1)，(-1,1)，(0,1)$ からなる3角形の内部（周を含まない）となる．