[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2001年(平成13年)東京大学前期-数学(文科)[2]

2024.02.12記

[2] 時刻 $0$ に原点を出発した $2$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ が $xy$ 平面上を動く．点 $\mbox{A}$ の時刻 $t$ での座標は $(t^2,0)$ で与えられる．点 $\mbox{B}$ は，最初は $y$ 軸上を $y$ 座標が増加する方向に一定の速さ $1$ で動くが，点 $\mbox{C}(0,3)$ に到達した後は，その点から $x$ 軸に平行な直線上を $x$ 座標が増加する方向に同じ速さ $1$ で動く．

$t\gt 0$ のとき，三角形 $\mbox{ABC}$ の面積を $S(t)$ とおく．

(1) 関数 $S(t)$ （ $t\gt 0$ ）のグラフの概形を描け．

(2) $u$ を正の実数とするとき， $0\lt t\leqq u$ における $S(t)$ の最大値を $M(u)$ とおく．関数 $M(u)$ （ $u\gt 0$ ）のグラフの概形を描け．

2021.01.17記

[解答]
(1)(i) $0\lt t\leqq 3$ のとき， ${\rm B}(0,t)$ だから， $S(t)=\dfrac{1}{2}t^2(3-t)$
(ii) $3\leqq t$ のとき， ${\rm B}(t-3,3)$ だから， $S(t)=\dfrac{3}{2}(t-3)$
のグラフを描けば良い．

(2) $S(t)$ のグラフから，
$M(u)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{1}{2}u^2(3-u) & (0\lt u\leqq 2) \\2 & (2\leqq u\leqq\dfrac{13}{3}) \\\dfrac{3}{2}(u-3) & (\dfrac{13}{3} \leqq u)\end{array}\right.$
となる．