2022年(令和4年)東京工業大学-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.04記

[3] $\alpha$ は $0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}$ を満たす実数とする． $\angle{\rm A}=\alpha$ および $\angle{\rm P}=\dfrac{\pi}{2}$ を満たす直角三角形 $\rm APB$ が，次の2つの条件 (a)，(b) を満たしながら，時刻 $t=0$ から時刻 $t=\dfrac{\pi}{2}$ まで $xy$ 平面上を動くとする．

(a）時刻 $t$ での点 $\rm A,B$ の座標は，それぞれ ${\rm A}(\sin t,0)$ , ${\rm B}(0, \cos t)$ である．

(b) 点 $\rm P$ は第一象限内にある．

このとき，次の間いに答えよ．

(1) 点 $\rm P$ はある直線上を動くことを示し，その直線の方程式を $\alpha$ を用いて表せ．

(2) 時刻 $t=0$ から時刻 $t=\dfrac{\pi}{2}$ までの間に点 $\rm P$ が動く道のりを $\alpha$ を用いて表せ．

(3) $xy$ 平面内において，連立不等式
$x^2-x+y^2\lt 0$ ， $x^2+y^2-y\lt 0$
により定まる領域を $D$ とする．このとき，点 $\rm P$ は領域 $D$ には入らないことを示せ．

2022.03.04記

[解答]

(1) 原点を $\rm O$ とする．

$\angle\rm AOB=\dfrac{\pi}{2}$ より，原点 $\rm O$ は $\rm AB$ を直径とする円周上にある．
$\angle\rm P=\dfrac{\pi}{2}$ より，点 $\rm P$ は $\rm AB$ を直径とする円周上にある．

よって， $\rm O,A,P,B$ は同一円周上にあり，よって $\angle\rm POB=\angle \rm PAB=\alpha$ となるので，
$\rm P$ は $y=\dfrac{1}{\tan\alpha}x$ 上にある．

(2) $\angle{\rm PAO}=\dfrac{\pi}{2}-t+\alpha$ であり， $\triangle\rm PAO$ の外接円の半径が $1$ であるから，正弦定理により ${\rm OP}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-t+\alpha\right)=\cos(\alpha-t)$ となる．

$t$	$0$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos(\alpha-t)$	$\cos\alpha$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$\sin \alpha$

により，求める道のりは
$2-\sin\alpha-\cos\alpha$
となる．

(3) ${\rm OP}=X$ とおくと ${\rm P}(x,y)=(X\sin\alpha,X\cos\alpha)$ であるから，
$x^2-x+y^2=X(X-\sin\alpha)$ ， $x^2+y^2-y=X(X-\cos\alpha)$
が成立する．(2) より $(0\lt)\min\{\sin\alpha,\cos\alpha\}\leqq X\leqq 1$ であるから，
$x^2-x+y^2=X(X-\sin\alpha)$ ， $x^2+y^2-y=X(X-\cos\alpha)$
の少なくとも一方は正または0となるので点 $\rm P$ は領域 $D$ には入らない．