2002年(平成14年)東京大学前期-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.13記

[5] $\mbox{O}$ を原点とする $xyz$ 空間に点 $\mbox{P}_k\left(\dfrac{k}{n},1-\dfrac{k}{n},0\right)$ ， $k=0$ ， $1$ ，…， $n$ ，をとる．また， $z$ 軸上 $z\geqq 0$ の部分に，点 $\mbox{Q}_k$ を線分 $\mbox{P}_k\mbox{Q}_k$ の長さが $1$ になるようにとる．三角錐(すい) $\mbox{OP}_k\mbox{P}_{k+1}\mbox{Q}_k$ の体積を $V_k$ とおいて，極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} V_k$ を求めよ．

2021.01.18記

[解答]
$\triangle{\rm OP}_k{\rm P}_{k+1}=\dfrac{1}{n}\triangle{\rm OP}_0{\rm P}_n=\dfrac{1}{2n}$ である．

${\rm Q}_k(0,0,q_k)$ とおくと ${\rm P}_k{\rm Q}_k=1$ より $q_k=\sqrt{2}\sqrt{\dfrac{k}{n}-\dfrac{k^2}{n^2}}$
となるので，
$V_k=\dfrac{\sqrt{2}}{6n}\sqrt{\dfrac{k}{n}-\dfrac{k^2}{n^2}}$
となり，
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1} V_k$ $=\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{6}\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\dfrac{k}{n}-\dfrac{k^2}{n^2}}$ $=\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{6}\int_0^1\sqrt{x-x^2}dx$ $=\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{6}\cdot \dfrac{\pi}{8}$ $=\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}\pi}{48}$
（直径1の半円の面積を利用）