本問のテーマ
反転(と複素共役)
2021.01.26記
[大人の解答]
(1) を原点について反転させて複素共役をとったものだから, を直径とする円から原点を除いたもの.よって中心は で半径は .
(1) を原点について反転させて複素共役をとったものだから, を直径とする円から原点を除いたもの.よって中心は で半径は .
(2) を結ぶ線分は,実部が となる直線のうち単位円の周または内部にある部分である.(1) よりこの線分の反転による像は を直径とする円のうち単位円の周または外部にある部分である.
これは を直径とする円の実部が 以下の部分.
[解答]
上の点を とすると だから,
上の点を とすると だから,
,つまり となる.
よって, となり, となるので,中心 ,半径 の円から原点を除いたもの.
(2) を結ぶ線分は,実部が となる直線だから (1) で とおいたものとなり,線分の像は 中心で半径が の円上にある.線分上の点は直線上で をみたす部分なので,円周上で をみたす部分が求める軌跡である.
軌跡の限界については,線分上の について をみたす部分であり, から をみたす部分となる,としても良い.