2002年(平成14年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.13記

[1] 2つの放物線
$\begin{matrix} y=2\sqrt{3}(x-\cos\theta)^2+\sin\theta \\ y=-2\sqrt{3}(x+\cos\theta)^2-\sin\theta \end{matrix}$
が相異なる $2$ 点で交わるような一般角 $\theta$ の範囲を求めよ．

[2] $n$ は正の整数とする． $x^{n+1}$ を $x^2-x-1$ で割った余りを $a_nx+b_n$ とおく．

(1) 数列 $a_n$ ， $b_n$ ， $n=1$ ， $2$ ， $3$ ，…，は
$\left\{\begin{array}{l} a_{n+1}=a_n+b_n \\ b_{n+1}=a_n \end{array}\right.$
を満たすことを示せ．

(2) $n=1$ ， $2$ ， $3$ ，… に対して， $a_n$ ， $b_n$ は共に正の整数で，互いに素であることを証明せよ．

[3] $xyz$ 空間内の原点 $\mbox{O}(0,0,0)$ を中心とし，点 $\mbox{A}(0,0,-1)$ を通る球面を $S$ とする． $S$ の外側にある点 $\mbox{P}(x,y,z)$ に対し， $\mbox{OP}$ を直径とする球面と $S$ との交わりとして得られる円を含む平面を $L$ とする．点 $\mbox{P}$ と点 $\mbox{A}$ から平面 $L$ へ下した垂線の足をそれぞれ $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ とする．このとき， $\mbox{PQ} \leqq \mbox{AR}$ であるような点 $\mbox{P}$ の動く範囲 $V$ を求め， $V$ の体積は $10$ より小さいことを示せ．

[4] $a$ は正の実数とする． $xy$ 平面の $y$ 軸上に点 $\mbox{P}(0,a)$ をとる．関数 $y=\dfrac{x^2}{x^2+1}$ のグラフを $C$ とする． $C$ 上の点 $\mbox{Q}$ で次の条件を満たすものが原点 $\mbox{O}(0,0)$ 以外に存在するような $a$ の範囲を求めよ．

条件： $\mbox{Q}$ における $C$ の接線が直線 $\mbox{PQ}$ と直交する．

[5] $\mbox{O}$ を原点とする $xyz$ 空間に点 $\mbox{P}_k\left(\dfrac{k}{n},1-\dfrac{k}{n},0\right)$ ， $k=0$ ， $1$ ，…， $n$ ，をとる．また， $z$ 軸上 $z\geqq 0$ の部分に，点 $\mbox{Q}_k$ を線分 $\mbox{P}_k\mbox{Q}_k$ の長さが $1$ になるようにとる．三角錐(すい) $\mbox{OP}_k\mbox{P}_{k+1}\mbox{Q}_k$ の体積を $V_k$ とおいて，極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} V_k$ を求めよ．

[6] $N$ を正の整数とする． $2N$ 個の項からなる数列
$\{ a_1， a_2， …， a_N， b_1， b_2， …， b_N \}$
を
$\{ b_1， a_1， b_2， a_2， …， b_N， a_N \}$
という数列に並べ替える操作を「シャッフル」と呼ぶことにする．並べ替えた数列は $b_1$ を初項とし， $b_i$ の次に $a_i$ ， $a_i$ の次に $b_{i+1}$ が来るようなものになる．また，数列 $\{ 1， 2， …$ ， $2N \}$ をシャッフルしたときに得られる数列において，数 $k$ が現れる位置を $f(k)$ で表す．
たとえば， $N=3$ のとき， $\{ 1， 2， 3， 4， 5， 6 \}$ をシャッフルすると $\{ 4， 1， 5， 2， 6， 3 \}$ となるので， $f(1}=2$ ， $f(2}=4$ ， $f(3}=6$ ， $f(4)=1$ ， $f(5)=3$ ， $f(6)=5$ である．