2003年(平成15年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.13記

[1] $a$ ， $b$ ， $c$ を実数とし， $a\neq 0$ とする．
2次関数 $f(x)=ax^2+bx+c$ が次の条件(A)，(B)を満たすとする．

(A) $f(-1)=-1$ ， $f(1)=1$

(B) $-1\leqq x\leqq 1$ を満たすすべての $x$ に対し， $f(x) \leqq 3x^2-1$

このとき，積分 $I=\displaystyle\int_{-1}^{1} (f'(x))^2 \,dx$ の値のとりうる範囲を求めよ．

2024.02.18記

[解答]
(A) により $f(x)=a(x+1)(x-1)+x$ とおくことができる．

(B) により
$a(x^2-1)\geqq 3x^2-x-1$ が $-1\leqq x\leqq 1$ を満たすすべての $x$ に対し成立するが， $x=\pm 1$ で成立しているので， $-1\lt x\lt 1$ を満たすすべての $x$ に対して
$a\geqq \dfrac{3x^2-x-1}{x^2-1}=3+\dfrac{2-x}{x^2-1}$ （∵ $x^2-1\lt 0$ ）
が成立すれば良い．

そこで $2-x=t$ （ $1\lt t\lt 3$ ）とおいたときの $\dfrac{2-x}{x^2-1}=\dfrac{t}{t^2-4t+3}$ の逆数
$g(t)=t+\dfrac{3}{t}-4$ の $1\lt t\lt 3$ における値域が $2\sqrt{3}-4\leqq g(t)\lt 0$ であることから
$\dfrac{2-x}{x^2-1}=\dfrac{1}{g(t)}\leqq \dfrac{1}{2\sqrt{3}-4}=-\dfrac{\sqrt{3}+2}{2}$
となるので， $a-3\geqq -\dfrac{\sqrt{3}+2}{2}$ つまり
$a\geqq \dfrac{4-\sqrt{3}}{2}$
となる．

以上と $f'(x)=2ax+1$ とから
$I=\displaystyle\int_{-1}^{1} (2ax+1)^2 \,dx$ $=4a^2\displaystyle\int_{-1}^{1} x^2 \,dx$ $+4a\displaystyle\int_{-1}^{1} x \,dx$ $\displaystyle\int_{-1}^{1} \,dx$ $=\dfrac{8}{3}a^2+2$
の値の $a\geqq \dfrac{4-\sqrt{3}}{2}$ における範囲を求めれば良く，それは
$I\geqq \dfrac{8}{3}\left(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2}\right)^2+2$ $=\dfrac{44-16\sqrt{3}}{3}$
である．

https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2003/Bun_1
は本問に条件 $f'(1)\leqq 6$ をつけ加えたものである．これによって
$\dfrac{4-\sqrt{3}}{2}\leqq a\leqq \dfrac{5}{2}$
となる．理科なので定数分離で分数関数の値域（といっても微分せずに AM-GM を用いたが）に帰着させたが，文科なので解の配置で処理しておく．