1998年(平成10年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.07記

[1] $a$ は0でない実数とする．関数
$f(x)=(3x^2-4) \left( x-a+\dfrac{1}{a} \right)$
の極大値と極小値の差が最小となる $a$ の値を求めよ．

[2] $a$ ， $b$ は実数で， $b\neq 0$ とする． $xy$ 平面に原点 $\mbox{O}(0,0)$ および $2$ 点 $\mbox{P}(1,0)$ ， $\mbox{Q}(a,b)$ をとる．

(1) $\triangle\mbox{OPQ}$ が鋭角三角形となるための $a$ ， $b$ の条件を不等式で表し，点 $(a,b)$ の範囲を $ab$ 平面上に図示せよ．

(2) $m$ ， $n$ を整数とする． $a$ ， $b$ が(1)で求めた条件を満たすとき，不等式
$(m+na)^2-(m+na)+n^2b^2\geqq 0$
が成り立つことを示せ．

[3] (1) $x$ は $0^{\circ}\leqq x\leqq 90^{\circ}$ を満たす角とする．
$\left\{\begin{array}{l} \sin y=|\sin 4x| \\ \cos y=|\cos 4x| \\ 0^{\circ} \leqq y \leqq {90}^{\circ} \end{array}\right.$
となる $y$ を $x$ で表し，そのグラフを $xy$ 平面上に図示せよ．

(2) $\alpha$ は $0^{\circ}\leqq\alpha\leqq {90}^{\circ}$ を満たす角とする． $0^{\circ}\leqq\theta_n\leqq 90^{\circ}$ を満たす角 $\theta_n$ ， $n=1$ ， $2$ ，… を
$\left\{\begin{array}{l} \theta_1=\alpha \\ \sin\theta_{n+1}=|\sin 4\theta_n| \\ \cos\theta_{n+1}=|\cos 4\theta_n|\end{array}\right.$
で定める． $k$ を $2$ 以上の整数として， $\theta_k=0^{\circ}$ となる $\alpha$ の個数を $k$ で表せ．

[4] $xyz$ 空間に3点 $\mbox{A}(1,0,0)$ ， $\mbox{B}(-1,0,0)$ ， $\mbox{C}(0,\sqrt{3},0)$ をとる． $\triangle\mbox{ABC}$ を1つの面とし， $z\geqq 0$ の部分に含まれる正四面体 $\mbox{ABCD}$ をとる．さらに $\triangle\mbox{ABD}$ を1つの面とし，点 $\mbox{C}$ と異なる点 $\rm E$ をもう1つの頂点とする正四面体 $\mbox{ABDE}$ をとる．