2001年(平成13年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.12記

[2] 次の等式を満たす関数 $f(x)$ （ $0\leqq x\leqq 2\pi$ ）がただ一つ定まるための実数 $a$ ， $b$ の条件を求めよ．また，そのときの $f(x)$ を決定せよ．
$f(x)=\dfrac{a}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sin(x+y)f(y)dy$ $+\dfrac{b}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \cos(x-y)f(y)dy+\sin x+\cos x$
ただし， $f(x)$ は区間 $0\leqq x\leqq 2\pi$ で連続な関数とする．

2020.09.03記

[解答]
$\displaystyle A=\int_{0}^{2\pi} (\cos y) f(y) dy$ ，
$\displaystyle B=\int_{0}^{2\pi} (\sin y) f(y) dy$
とおくと，
$\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin^2 y dy =\int_0^{2\pi} \cos^2 y dy$
$=\displaystyle\dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} (\sin^2 y +\cos^2 y) dy =\pi$ ，
$\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin y \cos y dy =\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi} \sin 2y dy=0$
から
$A=\dfrac{aB+bA+2\pi}{2}，B=\dfrac{aA+bB+2pi}{2}$ ，
つまり
$\begin{pmatrix} 2-b & -a \\ -a & 2-b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\pi \\ 2\pi \end{pmatrix}$
が得られる．

よって求める条件は
${\rm det}\begin{pmatrix} 2-b & -a \\ -a & 2-b \end{pmatrix}\neq 0$
つまり $a\neq \pm(2-b)$ である．

このとき
$f(x)=\dfrac{2}{2-a-b}(\sin x+\cos x)$
となる．