[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2021.01.31記

[解答]
(1) 9通り確認すると $(x,y,z)=(3,3,3)，(3,3,6)$

(2) $a^2+b^2+c^2=abc$ ， $b^2+c^2+z^2=bcz$ から $z^2-a^2=bc(z-a)$ より， $z=bc-a$ とすれば，(1) より (A) をみたす解は $b\geqq 3$ をみたすので， $z=3c-a\geqq 2c+(c-a)\gt 0$ となるので， $(b,c,bc-a)$ は(A) をみたし，題意は示された．

(3) (2) の操作を繰り返すと $z$ が単調に増大する解が次々と得られるので，(A) を満たす組は無数に存在する．