2006年(平成18年)東京大学前期-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2006年(平成18年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.22記
チェザロ平均
mathtrain.jp
にあるように

[大人の解答]
(2) $0\lt a_n\lt \dfrac{1}{2n}$ であるから， $a_n\to 0$ （ $n\to \infty$ ）により平均の極限も $0$ ．

丸投げでいいか。

(3)は、 $\dfrac{b_n}{2}=2+\dfrac{n-1}{n}\cdot \dfrac{1}{n}(a_1+\cdots+a_n)\to 2$ から $\dfrac{1}{2}$ となる．

2021.02.02記

[解答]
(1) 漸化式から $a_n$ は非負であるから， $b_{n+1}=b_n+2+a_n\gt b_n+2$ となり， $b_1=2$ から
$b_n\gt 2n$ （ $n\gt 1$ ）が成立する．

(2) $0\lt \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k$ $\lt \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2k}$ $\lt \dfrac{1}{2}\Bigl(1+\displaystyle\int_1^{n}\dfrac{1}{x}dx$ $=\dfrac{1+\log n}{2n}\to 0$ （ $n\to\infty$ ）
だから，求める極限は $0$ ．

(3) (1)より $b_n=2n+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} a_k$ により
$\dfrac{1}{na_n}=\dfrac{b_n}{n}=2+\dfrac{n-1}{n}\dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} a_k$
だから，
$\dfrac{1}{na_n}\to 2+1\cdot 0=2$ （ $n\to \infty$ ）だから， $na_n\to\dfrac{1}{2}$ （ $n\to \infty$ ）

大数のフォローノートでは $2n\lt b_n \lt 2n+\sqrt{n}$ を利用して(3)の極限を求めている
（詳細は、東大・入試数学50年の軌跡参照）．