2019年(平成31年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.12記

[1] 座標平面の原点を $\mbox{O}$ とし， $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}(1, \, 0)$ ， $\mbox{B}(1, \, 1)$ ， $\mbox{C}(0, \, 1)$ を辺の長さが1の正方形の頂点とする．3点 $\mbox{P}(p, \, 0)$ ， $\mbox{Q}(0, \, q)$ ， $\mbox{R}(r, \, 1)$ はそれぞれ辺 $\mbox{OA}$ ， $\mbox{OC}$ ， $\mbox{BC}$ 上にあり，3点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ および3点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ はどちらも面積が $\dfrac{1}{3}$ の三角形の3頂点であるとする．

(1) $q$ と $r$ を $p$ で表し， $p$ ， $q$ ， $r$ それぞれのとりうる値の範囲を求めよ．

(2) $\dfrac{\mbox{CR}}{\mbox{OQ}}$ の最大値，最小値を求めよ．

[2] $\mbox{O}$ を原点とする座標平面において，点 $\mbox{A}(2, \, 2)$ を通り，線分 $\mbox{OA}$ と垂直な直線を $l$ とする．座標平面上を点 $\mbox{P}(p, \, q)$ が次の2つの条件をみたしながら動く．

条件1： $8 \leqq \overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OP}} \leqq 17$

条件2：点 $\mbox{O}$ と直線 $l$ の距離を $c$ とし，点 $\mbox{P}(p, \, q)$ と直線 $l$ の距離を $d$ とするとき $cd\geqq{(p-1)}^2$

このとき， $\mbox{P}$ が動く領域を $D$ とする．
さらに， $x$ 軸の正の部分と線分 $\mbox{OP}$ のなす角を $\theta$ とする．

(1) $D$ を図示し，その面積を求めよ．

(2) $\cos\theta$ のとりうる値の範囲を求めよ．

[3] 正八角形の頂点を反時計回りに $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ ， $\mbox{F}$ ， $\mbox{G}$ ， $\mbox{H}$ とする．また，投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ のコインがある．点 $\mbox{P}$ が最初に点 $\mbox{A}$ にある．次の操作を10回繰り返す．

操作：コインを投げ，表が出れば点 $\mbox{P}$ を反時計回りに隣接する頂点に移動させ，裏が出れば点 $\mbox{P}$ を時計回りに隣接する頂点に移動させる．

例えば，点 $\mbox{P}$ が点 $\mbox{H}$ にある状態で，投げたコインの表が出れば点 $\mbox{A}$ に移動させ，裏が出れば点 $\mbox{G}$ に移動させる．

以下の事象を考える．

事象S：操作を10回行った後に点 $\mbox{P}$ が点 $\mbox{A}$ にある．

事象T：1回目から10回目の操作によって，点 $\mbox{P}$ は少なくとも1回，点 $\mbox{F}$ に移動する．

(1) 事象Sが起こる確率を求めよ．

(2) 事象Sと事象Tがともに起こる確率を求めよ．

[4] $\mbox{O}$ を原点とする座標平面を考える．不等式 $|x|+|y|\leqq 1$ が表す領域を $D$ とする．また，点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ が領域 $D$ を動くとき， $\overrightarrow{\mbox{OR}}=\overrightarrow{\mbox{OP}}-\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ をみたす点 $\mbox{R}$ が動く範囲を $E$ とする．

(1) $D$ ， $E$ をそれぞれ図示せよ．

(2) $a$ ， $b$ を実数とし，不等式 $|x-a|+|y-b|\leqq1$ が表す領域を $F$ とする。また，点 $\mbox{S}$ ， $\mbox{T}$ が領域 $F$ を動くとき， $\overrightarrow{\mbox{OU}}=\overrightarrow{\mbox{OS}}-\overrightarrow{\mbox{OT}}$ をみたす点 $\mbox{U}$ が動く範囲を $G$ とする． $G$ は $E$ と一致することを示せ．