[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2013年(平成25年)東京大学前期-数学(理科)[1]

2020.10.01記
回転拡大．または複素数。

{\rm P}_{n+1} は {\rm P}_n を原点中心に \cos\theta=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}， \sin\theta=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} 回転して \sqrt{a^2+b^2} 倍拡大する回転拡大を表す．

\rm P_0=P_6 より拡大率は 1 であり，6 以下の自然数で 6 と互いに素なものは 1,5 だから，回転角は 2\pi\times\dfrac{1}{6}， 2\pi\times\dfrac{5}{6} となるので (a，b)=\Bigl(\dfrac{1}{2}，\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) となる．

2022.03.10記
複素数で解いておく。

[解答]
z_n=x_n+y_n（n=0,1,2,\ldots），
\alpha=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)（r\geqq0，0\lt\theta\lt 2pi） とおくと
z_{n+1}=\alpha z_n，
z_0=1
となるので，z_n=\alpha^n z_0=\alpha^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta) である．

(i) より \dfrac{z_6}{z_0}=r^6(\cos 6\theta+i\sin 6\theta)=1 だから，r^6=1，6\theta は 2\pi の倍数である．
よって \theta=\dfrac{k\pi}{3}（k=1,2,\ldots,6）とかける．

{\rm P}_6={\rm P}_0 より (ii) と \theta,2\theta,\ldots,6\theta の偏角が全て異なることと，つまり 6 と k は互いに素であることは同値となり，よって k=1,5 となる．

以上から \alpha=\cos\dfrac{k\pi}{3}+i\sin\dfrac{k\pi}{3}（k=1,5 ）となるので
(a，b)=\Bigl(\dfrac{1}{2}，\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)
となる．

もちろん，
k=1 のときは \theta,2\theta,\ldots,6\theta の偏角
\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3},\ldots,\dfrac{6\pi}{3} は全て異なるので適する．

k=2 のとき 3\theta と 6\theta の偏角が 0 に等しく不適，
k=3 のとき 2\theta と 4\theta の偏角が 0 に等しく不適，
k=4 のとき 3\theta と 6\theta の偏角が 0 に等しく不適．

k=5 のときは \theta,2\theta,\ldots,6\theta の偏角
\dfrac{5\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3},\ldots,\dfrac{0\pi}{3} は全て異なるので適する．

k=6 のとき \theta と 2\theta の偏角はが 0 に等しく不適．

と真面目に書いても良い．