[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2013年(平成25年)東京大学前期-数学(理科)[2]

2020.10.01記
定数分離

[解答]

「f(x)=g(x)かつx\gt 0」
は
F(x)=\dfrac{\cos x-x\sin x}{x^2}=a かつ x\gt 0」
だから y=F(x) と y=a の x\gt 0 における共有点が丁度3つとなる範囲を求めれば良い．
F'(x)=-\dfrac{(x^2+2)\cos x}{x^3}=0
だから F'(x) は \cos x=0 の前後で符号変化して極値をとる．
その値は\sin x=\pm 1 に注意して \pm\dfrac{1}{x} から
\Big(\dfrac{\pi}{2}，-\dfrac{2}{\pi}\Bigr)，\Big(\dfrac{3\pi}{2}，\dfrac{2}{3\pi}\Bigr)，\Big(\dfrac{5\pi}{2}，-\dfrac{2}{5\pi}\Bigr)，\Big(\dfrac{7\pi}{2}，\dfrac{2}{7\pi}\Bigr)，\Big(\dfrac{9\pi}{2}，-\dfrac{2}{9\pi}\Bigr)，…
となる．

よって y=F(x) のグラフは次のようになる．

f:id:spherical_harmonics:20201001163849p:plain:w450

よって y=F(x) と y=a の x\gt 0 における共有点が丁度3つとなる範囲は
a=-\dfrac{2}{5\pi}，\dfrac{2}{7\pi}\lt a\lt \dfrac{2}{3\pi}
となる．