1999年(平成11年)東京大学後期-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.01.13記

${\rm A}_{0}{\rm B}_{0}$ と ${\rm C}_{0}{\rm D}_{0}$ の交点を ${\rm O}$ ， ${\rm OA}_0$ から ${\rm OD}_0$ へ測った角度を $\theta$ ， $r=\dfrac{{\rm OD}_0}{{\rm OA}_0}$ とするとき，四角形 ${\rm A}_{n}{\rm B}_{n}{\rm C}_{n}{\rm D}_{n}$ は　 ${\rm A}_{n-1}{\rm B}_{n-1}{\rm C}_{n-1}{\rm D}_{n-1}$ を ${\rm O}$ 中心に $\theta$ 回転し， $r$ 倍拡大したものとなる．

回転拡大は複素数を用いると簡明である．

複素平面で ${\rm A}_n，{\rm B_n}，{\rm C_n}，{\rm D_n}，{\rm P}$ に対応する複素数をそれぞれ $a_n，b_n，c_n，d_n，p$ とおく．また ${\rm O}$ に対応する複素数は $0$ である．

(1) $a_0=2+i$ ， $b_0=8+4i$ ， $p=4+12i$ だから，
$\dfrac{p}{b_0}=\dfrac{4+12i}{8+4i}=1+i=\sqrt{2}\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)$ となるので，
$\angle{\rm B}_0{\rm OP}=\dfrac{\pi}{4}$

(2) $c_0=kp$ （ $0\leqq k\leqq 1$ ）とおくと，
$a_1=d_0=\dfrac{a_0}{b_0}c_0=\dfrac{c_0}{b_0}a_0=k\sqrt{2}\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)a_0$
が成立するので， $K_n$ は $K_0$ を原点中心に $\dfrac{\pi}{4}$ 回転し， $k\sqrt{2}$ 倍拡大したものとなる．よって， $K_n=K_0$ が成立することと，
$k=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $n=8m$ （ $m$ は整数）となることは同値．

$kp=2\sqrt{2}+6\sqrt{2} i$ により， ${\rm C}_0(2\sqrt{2},6\sqrt{2} i)$ である．

(3) 求める条件は $a_8=b_0=4a_0$ または $a_0=b_8=4a_8$ だから，
$(k\sqrt{2})^8=4，\dfrac{1}{4}$ となり， $k=2^{-1/4}，2^{-3/4}$ となる．

(i) $k=2^{-1/4}$ のとき， ${\rm C}_0 (2^{7/4},3\times 2^{7/4})$ である．
このとき， $(100,50)$ に対応する複素数 $100+50i=50a_0$ が
$4^2 a_0 \lt 50 a_0 \lt 4^3 a_0$ をみたすことに注意すると，
$(100,50)$ は $K_{16}$ の辺 ${\rm A}_{16}{\rm B}_{16}$ 上にある．
${\rm A}_{16}{\rm B}_{16}={\rm D}_{15}{\rm C}_{15}$ により，
$n=15，16$

(i) $k=2^{-3/4}$ のとき， ${\rm C}_0 (2^{5/4},3\times 2^{5/4})$ である．
このとき， $(100,50)$ に対応する複素数 $100+50i=50a_0$ が
$\Bigl(\dfrac{1}{4}\Bigr)^2 a_0 \gt 50 a_0 \gt \Bigl(\dfrac{1}{4}\Bigr)^3 a_0$ をみたすことに注意すると，
$(100,50)$ は $K_{-16}$ の辺 ${\rm A}_{-16}{\rm B}_{-16}$ 上にある．
${\rm A}_{-16}{\rm B}_{-16}={\rm D}_{-17}{\rm C}_{-17}$ により，
$n=-17，-16$