[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1999年(平成11年)東京大学前期-数学(文科)[4]

2024.02.11記

[4] (1) 四面体 $\mbox{ABCD}$ の各辺はそれぞれ確率 $\dfrac{1}{2}$ で電流を通すものとする．
このとき，頂点 $\mbox{A}$ から $\mbox{B}$ に電流が流れる確率を求めよ．ただし，各辺が電流を通すか通さないかは独立で，辺以外は電流を通さないものとする．

(2) (1)で考えたような2つの四面体 $\mbox{ABCD}$ と $\mbox{EFGH}$ を図のように頂点 $\mbox{A}$ と $\mbox{E}$ でつないだとき，頂点 $\mbox{B}$ から $\mbox{F}$ に電流が流れる確率を求めよ．

2021.01.13記
1999年(平成11年)東京大学前期-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR で [tex;p=\dfrac{1}{2}] としたもの．

[解答]
(1) (a) AB に電流が流れるとき、その確率は $\dfrac{1}{2}$

(b) AB に電流が流れず、CDにも電流が流れないとき、その確率は $\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\Bigl(2\cdot\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{16}\Bigr)$ $=\dfrac{7}{64}$

(c) AB に電流が流れず、CDに電流が流れるとき、その確率は $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\Bigl(1-\dfrac{1}{4}\Bigr)^2$ $=\dfrac{9}{64}$

よって，これらを合計して $\dfrac{3}{4}$

(2) AからFに流れる確率も $\dfrac{3}{4}$ だから，求める確率は $\dfrac{9}{16}$