2010年(平成22年)東京大学後期-総合科目ＩＩ[1]B - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] 自然科学などに数学的方法を適用しようとするとき，しばしば直接に自然現象を扱うのではなく，近似した量を取り扱うことが必要になる．また，方程式の解を直接求めるのが難しいときには，解の形を予想して解いてみる，発見的方法が重要になる．

B
図1のように，ひもで結ばれた点 ${\rm P}_k（k=\cdots,-1,0,1\cdots）$ が振動する様子を考察する．時間のパラメータを $t$ として，それぞれの点を $xy$ 平面に図示し，時刻 $t$ における点 ${\rm P}_k$ の座標が
$(k,f_k(t))（k=\cdots,-1,0,1\cdots）$
で与えられるとしよう．ここで，ある自然数 $N$ に対して，すべての $k$ について
$f_k(t)=f_{k+N}(t)$ ……(1)
が成り立つと仮定する．

このとき， $g_k(t)=f_k(t)-f_{k-1}(t)$ とおくと， $f_k(t)$ ， $g_k(t)$ はある正の定数 $M$ について，近似的に
$\dfrac{d^2}{dt^2}f_k(t)=M(g_{k+1}(t)-g_k(t))$ ……(2)
をみたす．

ここで，
$f_k(t)=h(t)\cos(\alpha k)$
とおいて， $f_k(t)$ が条件(1)，(2)をみたすように $h(t)$ ， $\alpha$ を求めることを考える．ただし， $h(t)$ は $k$ にはよらない $t$ の関数であり，つねに値 $0$ をとる定数関数ではないとする．

図1(略)

(B-1) 条件(1)がみたされるような $\alpha$ の値をすべて求め， $N$ を用いて表せ．ただし， $0\leqq \alpha\lt 2\pi$ とする．

(B-2) $f_k(t)$ が式(2)をみたすとき，
$\dfrac{d^2}{dt^2}h(t)=-4M\Bigl(\sin\dfrac{\alpha}{2}\Bigr)^2h(t)$ ……(3)
が成り立つことを示せ．

(B-3) $h(t)=\cos(\beta t)$ とおき，これが式(3)をみたすとき，定数 $\beta$ を $M$ ， $\alpha$ を用いて表せ．また， $h(t)$ の周期が最も短くなるような $\alpha$ の値を $N$ を用いて表せ．

2021.02.14記
連成振動

[解答]

(B-1) $h(t)\cos(\alpha k)=h(t)\cos(\alpha k+\alpha N)$ が任意の整数 $k$ について成立するような $N$ が存在する条件を考える．

$h(t)\not\equiv 0$ であるから， $\cos(\alpha k)=\cos(\alpha k+\alpha N)$ となるので， $\alpha N$ が $2\pi$ の整数倍，つまり $\alpha=\dfrac{2\pi m}{N}（m=0,\ldots,N-1）$

(B-2) (2)より
$\cos(\alpha k)\dfrac{d^2}{dt^2}h(t)$
$=M(f_{k+1}(t)-2f_k(t)+f_{-1})$
$=M(\cos(\alpha k+\alpha)-2\cos(\alpha k)+\cos(\alpha k-\alpha))h(t)$
$=2M\cos(\alpha k)(\cos\alpha -1)h(t)$
$=-4M\cos(\alpha k)\Bigl(\sin\dfrac{\alpha}{2}\Bigr)^2h(t)$
となり，
$\dfrac{d^2}{dt^2}h(t)$ $=-4M\Bigl(\sin\dfrac{\alpha}{2}\Bigr)^2h(t)$

(B-3) (B-2)より $\beta=\pm 2\sqrt{M}\sin\dfrac{\alpha}{2}$ であり，周期が最短のときは $|\beta|$ が最大となるので
$\Bigl|\sin\dfrac{\alpha}{2}\Bigr|=\Bigl|\sin\dfrac{\pi m}{N}\Bigr|$
が最大になるとき．

(i) $N$ が偶数のとき， $m=\dfrac{N}{2}$ のときで $\alpha=\pi$

(ii) $N$ が奇数のとき， $m=\dfrac{N\pm 1}{2}$ のときで $\alpha=\pi\pm\dfrac{\pi}{N}$