[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

本問のテーマ

放物線の相似

2021.01.26記

[解答]
$y=s(x-1)^2$ と $y=-x^2+t^2$ は相似で，相似の中心は頂点を $1:s$ に内分する点 $\Bigl(\dfrac{s}{1+s},\dfrac{t^2}{1+s}\Bigr)$ であり，これが接点である．

よって $\dfrac{t^2}{1+s}=s\Bigl(\dfrac{-1}{1+s}\Bigr)^2$ ，つまり $t^2=\dfrac{s}{1+s}$ ，つまり $s=\dfrac{t^2}{1-t^2}$ となる．

$P=\dfrac{s}{3}$ ， $Q=\dfrac{2t^3}{3}$ であるから， $\dfrac{Q}{P}=\dfrac{2t^3}{s}=2(t-t^3)$ は $t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ で最大値 $=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$ をとる．

$t$ を消去する場合は $\dfrac{Q^2}{P^2}=\dfrac{4s}{(1+s)^3}$ を微分して $\dfrac{1-2s}{(1+s)^4}$ から $s=\dfrac{1}{2}$ で符号が正から負に変わるので最大となることがわかるが，これは理系の範囲．