[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2021.01.27記

[解答]
$\vec{\rm AP}=s\vec{\rm AB}$ ， $\vec{\rm DQ}=t\vec{\rm DC}$ とし， ${\rm AD}$ を $2:1$ に内分する点を $\rm O$ とする．

このとき， $\vec{\rm OR}$ $=\dfrac{\vec{\rm OP}+2\vec{\rm OQ}}{3}$ $=\dfrac{\vec{\rm OA}+s\vec{\rm AB}+2\vec{\rm OD}+2t\vec{\rm DC}}{3}$ $=\dfrac{\vec{\rm OA}+s\vec{\rm AB}+2\vec{\rm OD}+2t\vec{\rm DC}}{3}$ $=\dfrac{s\vec{\rm AB}+2t\vec{\rm DC}}{3}$
だから，求める範囲は $\dfrac{\vec{\rm AB}}{3}$ ， $\dfrac{2\vec{\rm DC}}{3}$ で張られる平行四辺形であり，その面積は
$\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}\times\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}$