[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2021.01.26記

[解答]
$-\dfrac{1}{p}=2-\sqrt{5}$ により $a_0=2$ ， $a_1=4$ ， $a_{n+2}=4a_{n+1}+a_n$ （ $n\geqq 0$ ）をみたす．

(1) $a_2=4，a_3=18$

(2) $a_{n+2}=4a_{n+1}+a_n=a_1a_{n+1}+a_n$ （ $n\geqq 0$ ）だから，
$a_1a_n=a_{n+1}-a_{n-1}$ （ $n\geqq 1$ ）．

(3) $a_0,a_1$ は自然数であり，漸化式から任意の自然数 $n$ について $a_n$ は自然数．

(4) $a_1a_n=a_{n+1}-a_{n-1}$ とユークリッドの互除法により， $a_{n+1}$ と $a_n$ の最大公約数は， $a_n$ と $a_{n-1}$ の最大公約数に等しく，帰納的に $a_1$ と $a_0$ の最大公約数 2 に等しい．