2019年(平成31年)東京大学-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.12記

[3] 正八角形の頂点を反時計回りに $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ ， $\mbox{F}$ ， $\mbox{G}$ ， $\mbox{H}$ とする．また，投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ のコインがある．点 $\mbox{P}$ が最初に点 $\mbox{A}$ にある．次の操作を10回繰り返す．

操作：コインを投げ，表が出れば点 $\mbox{P}$ を反時計回りに隣接する頂点に移動させ，裏が出れば点 $\mbox{P}$ を時計回りに隣接する頂点に移動させる．

例えば，点 $\mbox{P}$ が点 $\mbox{H}$ にある状態で，投げたコインの表が出れば点 $\mbox{A}$ に移動させ，裏が出れば点 $\mbox{G}$ に移動させる．

以下の事象を考える．

事象S：操作を10回行った後に点 $\mbox{P}$ が点 $\mbox{A}$ にある．

事象T：1回目から10回目の操作によって，点 $\mbox{P}$ は少なくとも1回，点 $\mbox{F}$ に移動する．

(1) 事象Sが起こる確率を求めよ．

(2) 事象Sと事象Tがともに起こる確率を求めよ．

2019.05.26記
カタラン数を利用して解くこともできるが，かえって面倒な方法しか思いつかなかったので素直に数えあげる．

ちなみに (1) は $f(x)=(1+x)^{10}$ を $x^4-1$ で割った余りの $x$ の係数を1024で割ったものと考えても良い．簡単に求まる訳ではないけど．

[解答]
(1) 表が1，5，9回でる確率だから
$\dfrac{{}_{10}\mbox{C}_1+{}_{10}\mbox{C}_5+{}_{10}\mbox{C}_9}{1024}=\dfrac{17}{64}$
となる．

(2) 表が1，9回のときは一周するので必ず事象Tが起こる．これらは合計20通り．

表が5回のときについて考える．初めて $\mbox{F}$ に到達するのは3，5，7回目のいずれかである．

(i) 3回目で初めて到達するとき，最初の3回は
裏裏裏{表表表表表裏裏}
だから $1\times {}_{7}\mbox{C}_2=21$ 通り

(ii) 5回目で初めて到達するとき，最初の5回は
表表表表表裏裏裏裏裏，
{表裏裏}裏裏{表表表表裏}
だから $1+{}_{3}\mbox{C}_1\times {}_{5}\mbox{C}_1=16$ 通り

(iii) 7回目で初めて到達するとき，最初の7回は
表{表裏裏裏}裏裏表表表，
裏表{表裏裏}裏裏表表表，
裏裏表{表裏}裏裏表表表
だから ${}_{4}\mbox{C}_1+{}_{3}\mbox{C}_1+{}_{2}\mbox{C}_1=9$ 通り

よって表が5回のときに $\mbox{F}$ に到達する場合の数は46通り．

以上から全部で66通りとなるので求める確率は
$\dfrac{66}{1024}=\dfrac{33}{512}$
となる．

2019.06.02記
$\dfrac{{}_{10}\mbox{C}_1+{}_{10}\mbox{C}_5+{}_{10}\mbox{C}_9}{1024}=\dfrac{17}{64}$ の計算は
パスカルの三角形を書いて
1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1
から、 $10+252+10=272$ を求めて計算するのも良い。

2019.06.23記
(iii) 7回目で初めて到達するとき、最初の7回は
{表裏裏}{表裏}裏裏表表表，
{表表裏}裏裏裏裏表表表
だから ${}_{3}\mbox{C}_1\times{}_{2}\mbox{C}_1+{}_{3}\mbox{C}_1=9$ 通り
とした方が簡単か．

いずれにせよ，時計まわりに始めて $\mbox{F}$ に到達するとき，直前2回は「裏裏」でないといけないことがポイント．