2019年(平成31年)東京大学-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2019.02.26記

[4] $\mbox{O}$ を原点とする座標平面を考える．不等式 $|x|+|y|\leqq 1$ が表す領域を $D$ とする．また，点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ が領域 $D$ を動くとき， $\overrightarrow{\mbox{OR}}=\overrightarrow{\mbox{OP}}-\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ をみたす点 $\mbox{R}$ が動く範囲を $E$ とする．

(1) $D$ ， $E$ をそれぞれ図示せよ．

(2) $a$ ， $b$ を実数とし，不等式 $|x-a|+|y-b|\leqq1$ が表す領域を $F$ とする。また，点 $\mbox{S}$ ， $\mbox{T}$ が領域 $F$ を動くとき， $\overrightarrow{\mbox{OU}}=\overrightarrow{\mbox{OS}}-\overrightarrow{\mbox{OT}}$ をみたす点 $\mbox{U}$ が動く範囲を $G$ とする． $G$ は $E$ と一致することを示せ．

2019.02.26記

図形のミンコフスキー（和、）差に関する問題。

図形のミンコフスキー差は、ゲームの当たり判定に用いられる。2つの図形 $A,B$ の当たり判定を原点とミンコフスキー和 $A\ominus B$ との当たり判定に帰着させることによって当たり判定を行なっている。

trap.jp

[大人の解答]
(1) $D$ は $(\pm1,0)，(0,\pm1)$ の4点を結んで出来る正方形の周及び内部である．点対称な図形に関して、自分自身とのミンコフスキー差は自分自身を2倍拡大した図形となるから， $E$ は $(\pm2,0)，(0,\pm2)$ の4点を結んで出来る正方形の周及び内部である．

(2)ミンコフスキー差は平行移動に不変なので、(1)と同じ図形になる。

2019.02.28追記:
図形のミンコフスキー差の定義は2つあるようなので、ちょっと注意をしておく。ここでのミンコフスキー差とは
$\check{A}:=\{-\vec{a}\,|\,\vec{a}\in A\}$
としたときの $A\oplus\check{B}$ のことで、画像処理で用いられる Erosion とは違う意味で使っている。

MORPHOLOGICAL IMAGE PROCESSING
http://www.cs.rug.nl/~roe/courses/ip/9_morf1-handout.pdf

画像処理での Erosion は、ミンコフスキー和に対応する Dilation と組合せて、

Opening （細くして太くする）ことによって境界や角をなめらかにする、細く繋がっている部分を分断する、小さい孤立した点を除去することができる。

Closing （太くして細くする）によって図形の細いすきまや穴を埋めることができる。