1996年(平成8年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.14記

[1] $xy$ 平面において，行列 $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix}$ で表される1次変換を $f$ とし，点 $(1,0)$ を中心とする半径 $\dfrac{1}{3}$ の円を $C$ とする． $f$ による $C$ の像が直線 $x=\dfrac{2}{3}$ に接し，かつ領域 $D=\{(x,y)\,|\,x\gt 0\}$ に含まれるような $(a,b)$ 全体のなす図形を $ab$ 平面上に図示せよ．

本問のテーマ

双曲線と離心率

2021.01.20記

[解答]
複素平面で考える．

$\alpha=a+bi$ とおくと，円 $|z-\alpha|=\dfrac{|\alpha|}{3}$ が $\mbox{Re}(z)=\dfrac{2}{3}$ に接するので，
$\alpha$ と直線 $\mbox{Re}(z)=\dfrac{2}{3}$ との距離と $\alpha$ と原点の距離の比が $3:1$ となる（だから $\alpha$ は原点を焦点とし，準線が直線 $\mbox{Re}(z)=\dfrac{2}{3}$ である，離心率が3の双曲線上にある）．

よって $\mbox{Re}\Bigl(\alpha-\dfrac{2}{3}\Bigr)=\dfrac{|\alpha|}{3}$ となり，
$\Bigl|a-\dfrac{2}{3}\Bigr|=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{3}$ となる．
整理して $16\Bigl(a-\dfrac{3}{4}\Bigr)^2-2b^2=1$ をみたす．