1996年(平成8年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.14記

[1] $xy$ 平面において，行列 $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix}$ で表される1次変換を $f$ とし，点 $(1,0)$ を中心とする半径 $\dfrac{1}{3}$ の円を $C$ とする． $f$ による $C$ の像が直線 $x=\dfrac{2}{3}$ に接し，かつ領域 $D=\{(x,y)\,|\,x\gt 0\}$ に含まれるような $(a,b)$ 全体のなす図形を $ab$ 平面上に図示せよ．

[2] $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を正の数とする．不等式
$\left\{\begin{array}{l}s(1-a)-tb\gt 0 \\-sc+t(1-d)\gt 0\end{array}\right.$
を同時に満たす正の数 $s$ ， $t$ があるとき， $2$ 次方程式 $x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0$ は $-1\lt x\lt 1$ の範囲に異なる $2$ つの実数解をもつことを示せ．

[3] 空間内の点 $\mbox{O}$ を中心とする一辺の長さが $l$ の立方体の頂点を $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ，…， $\mbox{A}_8$ とする．また， $\mbox{O}$ を中心とする半径 $r$ の球面を $S$ とする．

(1) $S$ 上のすべての点から $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ，…， $\mbox{A}_8$ のうち少なくとも1点が見えるための必要十分条件を $l$ と $r$ で表せ．

(2) $S$ 上のすべての点から $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ，…， $\mbox{A}_8$ のうち少なくとも $2$ 点が見えるための必要十分条件を $l$ と $r$ で表せ．

ただし， $S$ 上の点 $\mbox{P}$ から $\mbox{A}_k$ が見えるとは， $\mbox{A}_k$ が $S$ の外側にあり，線分 $\mbox{PA}_k$ と $S$ との共有点が $\mbox{P}$ のみであることとする．

[4] $1$ つのサイコロを続けて投げて，それによって $a_n$ （ $n=1$ ， $2$ ，…）を以下のように定める．

出た目の数を順に $c_1$ ， $c_2$ ，… とするとき， $1\leqq k\leqq n-1$ を満たすすべての整数 $k$ に対し $c_k\leqq c_n$ ならば $a_n=c_n$ それ以外のとき $a_n=0$ とおく．ただし， $a_1=c_1$ とする．

(1) $a_n$ の期待値を $E(n)$ とするとき， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} E(n)$ を求めよ．

(2) $a_1$ ， $a_2$ ，…， $a_n$ のうち $2$ に等しいものの個数の期待値を $N(n)$ とするとき， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} N(n)$ を求めよ．

[5] $xyz$ 空間内の円柱 $x^2+y^2=R^2$ ， $R\gt 0$ を側面とする容器に，水面が $z=0$ と一致するように $z\leqq0$ の部分に水がはいっている． $z\geqq 0$ に対して定義された連続な関数 $r(z)$ で
$r(0)=0$ ， $0\leqq r(z)\lt R$
をみたすものを考える． $xz$ 平面内の不等式
$0\leqq x \leqq r(z)$ ， $z\geqq 0$
で表される領域を $z$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる回転体を毎秒 $1$ の速さで下に動かすと， $t$ 秒後には水面が $z=f(t)$ に上昇するという．