1988年(昭和63年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[3] $C$ を $y=x^3-x$ ， $-1\leqq x\leqq 1$ で与えられる $xy$ 平面上の図形とする．次の条件をみたす $xy$ 平面上の点 $\mbox{P}$ 全体の集合を図示せよ．

「 $C$ を平行移動した図形で，点 $\mbox{P}$ を通り，かつもとの図形 $C$ との共有点がただ1点であるようなものが，ちょうど3個存在する．」

2021.01.21記

[解答]
$C$ を $x$ 軸方向に $2a$ ， $y$ 軸方向に $2b$ だけ平行移動した図形を $D$ とする．

$C$ と $D$ をあわせた図形を $E$ とすると， $C$ は原点対称な図形であることから， $E$ は $(a,b)$ について点対称な図形である．よって， $C$ と $D$ の共有点がただ1点の場合，その共有点は $(a,b)$ でなければならず，それは $C$ 上の点である．

よって $(a,b)=(t,t^3-t)$ （ $-1\lt t\lt 1$ ）とおくことができ，よって $D$ は $y=(x-2t)^3-(x-2t)+2t^3-2t=:f(t;x)$
（ $2t-1\leqq x\leqq 2t+1\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{2}\leqq t\leqq \dfrac{x+1}{2}$ ）となるので，これをみたす相異なる $-1\lt t\lt 1$ が3つあるような $(x,y)$ の範囲を図示すれば良い．

$f(t;x)-y$ を $t$ で微分すると $-6(x-2t)^2+6t^2=-6(3t-x)(t-x)$ であるから，まず極値をとる $t$ の値について $-1\lt \dfrac{x}{3} \lt 1，1\lt x \lt 1$ が必要，つまり $1\lt x \lt 1$ が必要で，このとき $-1\lt \dfrac{x-1}{2}\leqq t\leqq \dfrac{x+1}{2}\lt 1$ となるので， $f(t;x)-y=0$ の $t^3$ の係数が負であることに注意すると，

求める条件は $f\Bigl(\dfrac{x-1}{2};x\Bigr)-y\geqq 0$ かつ $f\Bigl(\dfrac{x+1}{2};x\Bigr)-y\leqq 0$ かつ
$\{f(x,x)-y\}\Bigl\{f\Bigl(\dfrac{x}{3};x\Bigr)-y\Bigr\}\lt 0$ となる．

ここで， $F(x)=x^3-x=(x+1)x(x-1)$ とおくと $F(-x)=-F(x)$ ， $f(t;x)=F(x-2t)+2F(t)$ だから
$f(x,x)=F(-x)+2F(x)=F(x)$ ，
$f\Bigl(\dfrac{x}{3};x\Bigr)=F\Bigl(\dfrac{x}{3}\Bigr)+2F\Bigl(\dfrac{x}{3}\Bigr)=3F\Bigl(\dfrac{x}{3}\Bigr)$ ，
$f\Bigl(\dfrac{x\pm 1}{2};x\Bigr)=F(\mp 1)+2F\Bigl(\dfrac{x\pm 1}{2}\Bigr)=2F\Bigl(\dfrac{x\pm 1}{2}\Bigr)$
だから，求める条件は
$F\Bigl(\dfrac{x-1}{2}\Bigr)-\dfrac{y}{2}\geqq 0$ かつ $F\Bigl(\dfrac{x+1}{2}\Bigr)-\dfrac{y}{2}\leqq 0$ かつ
$\{F(x)-y\}\Bigl\{F\Bigl(\dfrac{x}{3}\Bigr)-\dfrac{y}{3}\Bigr\}\lt 0$ となる．

つまり，
$y=F(x)$ を $(-1,0)$ 中心に2倍拡大した $\dfrac{y}{2}=F\Bigl(\dfrac{x-1}{2}\Bigr)$ ，
つまり $y=\dfrac{1}{4}(x+1)(x-1)(x+3)$ より下（境界含む）にあり，
$y=F(x)$ を $(1,0)$ 中心に2倍拡大した $\dfrac{y}{2}=F\Bigl(\dfrac{x+1}{2}\Bigr)$ ，
つまり $y=\dfrac{1}{4}(x+3)(x-1)(x+1)$ より上（境界含む）にあり，
$y=F(x)$ と，それを原点中心に3倍拡大した $\dfrac{y}{3}=F\Bigl(\dfrac{x}{3}\Bigr)$ ，
つまり $y=\dfrac{1}{9}(x+3)x(x-3)$ に挟まれた部分（境界除く）となる．

なお， $D$ が $C$ に接しながら動くとき， $D$ の右端点と $C$ の左端点の中点が接点だから， $D$ の右端点の軌跡は $C$ を $C$ の左端点を中心に2倍に拡大した点となり， $\dfrac{y}{2}=F\Bigl(\dfrac{x-1}{2}\Bigr)$ を描くことがわかる．

同様に、 $D$ の左端点の軌跡は $C$ を $C$ の右端点を中心に2倍に拡大した点となり， $\dfrac{y}{2}=F\Bigl(\dfrac{x+1}{2}\Bigr)$ を描くことがわかる．