2019年(平成31年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2019.02.26記

[1] 次の定積分を求めよ．
$\displaystyle\int_0^1\left(x^2+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\left(1+\dfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right)dx$

2019.02.26記
$\sqrt{1+x^2}$ が登場するので、とりあえず $x=\tan\theta$ と置換してひたすら頑張れ。というのが通常の解法だがちょっと時間がかかる。
展開した4項について $x^2,\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ の原始関数はすぐにわかるので、残り2項についてだけ工夫する、というように困難を分割する問題。

3項目に関しては、

河合塾は $1+x^2=t$ 、
代々木ゼミナールは部分積分で $\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ の積分に帰着、
駿台は3項目の分子の $x^3$ を $x(x^2+1-1)$ と変形して $\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ の積分と $\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}^3}$ の積分に分ける、
東進は全部 $x=\tan\theta$ と置換、

というそれぞれの工夫があった。4項目はどの予備校も、 $x=\tan\theta$ としている。4項目の原始関数には $\tan^{-1} x$ が登場するので当然であるが、
$\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}$ と変形して部分積分をするのが一番工夫した解法になる。2019年2月27日現在では、まだ見ていないけど。
もちろん、試験時間内でここまで工夫を考えるよりも、エイヤと積分してしまった方が速い。

後出しジャンケンの結果、

[解答]
$\displaystyle\int_0^1\left(x^2+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\left(1+\dfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right)dx$
$\displaystyle=\int_0^1\left(x^2+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{x^3}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{x^2}{(1+x^2)^2}\right)dx$
$\displaystyle=\int_0^1\left(x^2+\dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{(1+x^2)^{3/2}}+\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}\right)dx$
$\displaystyle=\left[\dfrac{x^3}{3}+2\sqrt{1+x^2}+\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}-\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{1+x^2}\right]_0^1+\int_0^1\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1+x^2}dx$
$=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-\dfrac{35}{12}$