1948年(昭和23年)東京大学医学部薬学科-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.04.03記

[2]次の積分を計算せよ．
$f(x)=\displaystyle\int\dfrac{dx}{\cos x}$

2020.04.07記
大抵の微積の教科書にある問題なので省略。答の表現はいくつかあるが、その1つは
$\log\left|\dfrac{1+\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan\dfrac{x}{2}}\right|+(積分定数)$

2022.07.20記

[解答]
$y=\dfrac{\pi}{2}$ と置換すると
$f(x)=-\displaystyle\int\dfrac{dy}{\sin x}$ $=-\displaystyle\int\dfrac{dy}{2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}}$ $=-\displaystyle\int\dfrac{1}{\tan\dfrac{y}{2}}\cdot \dfrac{d\dfrac{y}{2}}{\cos^2\dfrac{x}{2}}$ $=-\log\left|\tan\dfrac{y}{2}\right|+(積分定数)$ $=-\log\left|\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)\right|+(積分定数)$ $=-\log\left|\dfrac{1-\tan\dfrac{x}{2}}{1+\tan\dfrac{x}{2}}\right|+(積分定数)$ $=\log\left|\dfrac{1+\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan\dfrac{x}{2}}\right|+(積分定数)$

2022.07.20記

[解答]
$f(x)=\displaystyle\int\dfrac{\cos x dx}{1-\sin^2 x}$
で $t=\sin x$ と置換すると $dt=\cos x dx$ から
$f(x)=\displaystyle\int\dfrac{dt}{1-t^2}$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{1+t}+\dfrac{1}{1-t}\right)dt$ $=\dfrac{1}{2}\log\left|\dfrac{1+t}{1-t}\right|+(積分定数)$ $=\dfrac{1}{2}\log\left|\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+(積分定数)$ $=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}+(積分定数)$

これら2つの結果は等しく，さらに
$\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}$ $=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x}$ $=\log \dfrac{1+\sin x}{|\cos x|}$
と変形することもできる．