2021年(令和3年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3]

関数 $f(x)=\dfrac{x}{x^2+3}$ に対して， $y=f(x)$ のグラフを $C$ とする．点 ${\rm A}(1,f(1))$ における $C$ の接線を $\ell:y=g(x)$ とする．

(1) $C$ と $\ell$ の共有点で $\rm A$ と異なるものがただ $1$ つ存在することを示し, その点の $x$ 座標を求めよ．

(2)(1)で求めた共有点の $x$ 座標を $\alpha$ とする. 定積分 $\displaystyle\int_{\alpha}^1 \{f(x)−g(x)\}^2\, dx$ を計算せよ．

2021.02.25記

[解答]

(1) $f'(x)=\dfrac{3-x^2}{(x^2+3)^2}$ より $f'(1)=\dfrac{1}{8}$ となり， $\ell:y=\dfrac{x+1}{8}$ となる．
よって， $C$ と $\ell$ の交点の $x$ 座標は
$\dfrac{x}{x^2+3}-\dfrac{x+1}{8}=-\dfrac{1}{8}(x-1)^2(x+3)$
の解となる．よって $\rm A$ 以外の共有点はただ1つだけでその $x$ 座標は $-3$

(2) $\displaystyle\int_{-3}^1 \Bigl(\dfrac{x}{x^2+3}-\dfrac{x+1}{8}\Bigr)^2dx$
$=\displaystyle\int_{-3}^1 \Bigl(\dfrac{x^2}{(x^2+3)^2}-\dfrac{x^2+x}{4(x^2+3)}+\dfrac{(x+1)^2}{64}\Bigr)dx$
$=\displaystyle\int_{-\pi/3}^{\pi/4} \Bigl(\dfrac{1}{2\sqrt{3}}(1-\cos 2\theta) -\sqrt{3}\Bigr)d\theta$
$-\displaystyle\int_{-3}^1 \Bigl( \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}\{\log(x^2+3)\}'\Bigr)dx$
$+\displaystyle\int_{-3}^1 \dfrac{(x+1)^2}{64}dx$
$=-\dfrac{7}{6}+\dfrac{5\sqrt{3}\pi}{24}+\dfrac{1}{8}\log 3$