2024年(令和6年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.28記

[4] $f(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}x^2+4\sqrt{2}$ とおく． $0\lt t\lt 4$ を満たす実数 $t$ に対し，座標平面上の点 $(t，f(t))$ を通り，この点において放物線 $y=f(x)$ との共通の接線を持ち， $x$ 軸上に中心を持つ円を $C_t$ とする．

(1) 円 $C_t$ の中心の座標を $(0，c(t))$ ，半径を $r(t))$ とおく． $c(t)$ と $\{r(t)\}^2$ を $t$ の整式で表せ．

(2) 実数 $a$ は $0\lt a\lt f(3)$ を満たすとする．円 $C_t$ が点 $(3,a)$ を通るような実数 $t$ は $0\lt t\lt 4$ の範囲にいくつあるか．

2024.02.28記

[解答]
$f(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}x^2+4\sqrt{2}$ $=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}(x^2-16)$ ，
$f'(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}x$
である．

(1) 法線の式は $y=-\dfrac{1}{f'(t)}(x-t)+f(t)$ だから
$c(t)=t+f(t)f'(t)$ $=t+\dfrac{\sqrt{1}}{4}(t^2-16)t$ $=\dfrac{1}{4}t^3-3t$
であり，
$\{r(t)\}^2=\{c(t)-t\}^2+\{f(t)\}^2$ $=\{f(t)f'(t))\}^2+\{f(t)\}^2$ $=\{f(t)\}^2(1+\{f'(t)\}^2)$
$=\dfrac{1}{8}(t^2-16)^2\cdot \left(1+\dfrac{1}{2}t^2\right)$
$=\dfrac{1}{16}(t^2-16)^2(t^2+2)$
$=\dfrac{1}{16}t^6-\dfrac{15}{8}t^4+12t^2+32$
である．

(2) $C_t$ の式は
$\{x-c(t)\}^2+y^2=\{r(t)\}^2$
であるから，与えられた $0\lt a\lt \dfrac{7\sqrt{2}}{4}$ に対して
$a^2=\{r(t)\}^2-\{3-c(t)\}^2$
$=-\dfrac{3}{8}t^4+\dfrac{3}{2}t^3+3t^2-18t+23:=u(t)$
をみたす $0\lt t\lt 4$ の個数を数えれば良い．
$u'(x)=-\dfrac{3}{2}(x+2)(x-2)(x-3)$
より増減表は

$t$	$(0)$	$\cdots$	$2$	$\cdots$	$3$	$\cdots$	$(4)$
$u'(t)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$u(t)$	$23$	$\searrow$	$5$	$\nearrow$	$\frac{49}{8}$	$-$	$-1$

となるので， $a\gt 0$ ， $\dfrac{49}{8}=\left(\dfrac{7\sqrt{2}}{4}\right)^2=\{f(3)\}^2$ により
$0\lt a\lt \sqrt{5}$ のとき1個，
$a=\sqrt{5}$ のとき2個，
$\sqrt{5}\lt a\lt\dfrac{7\sqrt{2}}{4}$ のとき3個
となる．