2024年(令和6年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.28記

[5] 座標空間内に3点 $\mbox{A}(1,0,0)$ ， $\mbox{B}(0,1,0)$ ， $\mbox{C}(0,0,1)$ をとり， $\mbox{D}$ を線分 $\mbox{AC}$ の中点とする．三角形 $\mbox{ABD}$ の周および内部を $x$ 軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積を求めよ．

本問のテーマ

軸の正射影と体積の関係

2024.02.25記
多くのチート解法は，図形を軸に射影する方針(これは曲面を回転させるときも有効なので非常に良い方法)であるが，図形が平面図形の場合は軸を図形に正射影しても良い．この方法については
回転体体積の裏ワザ：軸の正射影と体積の関係 - 球面倶楽部零八式 mark II
参照（2024.02.28追記）

[うまい解答]
$\mbox{BC}$ の中点を $\mbox{E}$ とすると $x$ 軸を三角形に射影したものは $\mbox{AE}$ となる．

ここで $\mbox{AE}$ を中心に三角形 $\mbox{ABD}$ を回転してできる立体の体積は
$\dfrac{1}{3}\pi\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{2}{3}$ $=\dfrac{\sqrt{6}}{18}\pi$
であり， $x$ 軸と直線 $\mbox{AE}$ のなす角度の余弦は $\dfrac{2}{\sqrt{6}}$ であるから求める体積は
$\dfrac{\sqrt{6}}{18}\pi\cdot\dfrac{2}{\sqrt{6}}$ $=\dfrac{\pi}{9}$
となる．

2024.02.28記
証明しながら答案を書く

[解答]
$\mbox{BC}$ の中点を $\mbox{E}$ とすると $x$ 軸を三角形に射影したものは $\mbox{AE}$ となり，この式は
$(x,y,z)=(1,0,0)+t(-2,1,1)$
となる．この直線上の点 $(1-2t,t,t)$ を通り $x$ 軸に垂直な平面による $\triangle\rm ABC$ の切り口である線分上の点と $k=1-2t$ として $(k,0,0)$ との距離の最大を $M(k)$ ，最小を $m(k)$ とすると，求める体積 $V$ は
$V=\displaystyle\int_{-1}^{1} \pi\{M(k)^2-m(k)^2\}\,dk$
となる．ここで $t$ が $\Delta t$ 変化すると， $(1-2t,t,t)$ は $\sqrt{6}\Delta t$ だけ動くことに注意して
$V=\displaystyle\int_{1}^{0} \pi\{M(1-2t)^2-m(1-2t)^2\}\, (-2\,dt)$
$=\dfrac{2}{\sqrt{6}}\displaystyle\int_{0}^{1} \pi\{M(1-2t)^2-m(1-2t)^2\}\, (\sqrt{6}\,dt)$
と変形すると，
$\displaystyle\int_{0}^{1} \pi\{M(1-2t)^2-m(1-2t)^2\}\, (\sqrt{6}\,dt)$
は $\mbox{AE}$ を中心に三角形 $\mbox{ABD}$ を回転してできる立体の体積を積分で求める式であるから，その積分結果は円錐の体積の $\dfrac{2}{3}$ となり，
$\dfrac{1}{3}\pi\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{2}{3}$ $=\dfrac{\sqrt{6}}{18}\pi$
となる．よって
$V=\dfrac{2}{\sqrt{6}}\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{18}\pi$
$=\dfrac{\pi}{9}$
となる．

2024.04.23記
参考
2009年(平成21年)東京大学前期-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR