[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2024年(令和6年)防衛医科大学校医学科-数学[4](数字)

2023.10.29記(2024.02.20修正)

[1] 整数 $n$ に対する不定方程式 $5x+7y=n$ の整数解の組 $(x，y)$ を考える． $=141$ のとき， $x\gt 0$ かつ $y\gt 0$ となる整数解の組は全部で $\fbox{　7　}$ 組ある．また $x\gt 0$ かつ $y\lt 0$ かつ $x-y\leqq 48$ となる整数解の組がちょうど3組になる $n$ のうち最大のものは $\fbox{　8　}\fbox{　9　}\fbox{　10　}$ である．

2023.10.29記(2024.02.20修正)

[解答]
(1) 例えば $(x,y)=(24,3)$ は解であるから，一般解は $(x,y)=(24-7k,3+5k)$ （ $k$ は整数）となる．よって $x,y\gt 0$ となるのは $(x,y)=(3,18)，(10,13)，(17,8)，(24,3)$ の4組．

(2) 解が3組ということは $a\gt 0$ であり， $b=-1,-2,-3,-4,-5$ のいずれかとして
$(x,y)=(a,b)，(a+7,b-5)，(a+14,b-10)$
（ $x-y$ は順に $a-b，a-b+12，a-b+24$ ）の3組がのみ解となる．

このとき $5a+7b=n$ ， $a-b+24\leqq 48$ であり，後者から $a-b\leqq 24$ だから
$n=5a+7b=5(a-b)+12b\leqq 120-12=108$
（等号は $a-b=24$ ， $b=-1$ ，つまり $a=23，b=-1$ ）
となる．

実際 $n=108$ のとき，
$(x,y)=(23,-1)，(30,-6)，(37,-11)$
は $x-y\leqq 48$ を満たし，その次 $(44,-16)$ は満たさないので，確かに題意をみたしている．

よって $\fbox{　7　}=4$ ， $\fbox{　8　}\fbox{　9　}\fbox{　10　}＝108$ である．