2018年(平成30年)東北大学後期-数学(理学部)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.04.23記

[1] $xy$ 平面において， $x$ ， $y$ がともに整数であるとき，点 $(x,y)$ を格子点とよぶ． $m$ を正の整数とするとき，放物線 $y=x^2−2mx+m^2$ と $x$ 軸および $y$ 軸によって囲まれた図形を $D$ とする．

(1) $D$ の周上の格子点の数 $L_m$ を $m$ で表せ．

(2) $D$ の周上および内部の格子点の数 $T_m$ を $m$ で表せ．

(3) $D$ の面積を $S_m$ とする． $\displaystyle \lim_{m\to\infty} \dfrac{T_m}{S_m}$ を求めよ．

本問のテーマ

ピックの公式

2022.04.23記
この問題をピックの公式で解いている人を見掛けないし，4年経っても使い所がなかったので公開しておく．
結局，ピックの公式と 1/6公式を組合せると2乗和の公式が導かれることを使っている．詳細は
ピックの公式と累乗和の公式 - 球面倶楽部零八式 mark II
参照のこと．

[大人の解答]
(1) 周上の格子点は $(0,0),...,(m,0),(m-1,1),\ldots,(0,m^2),\ldots,(0,1)$ の $m^2+2m$ 個だから $L_m=m^2+2m$

(2) $S_m=\dfrac{m^3}{6}$ であり， $D$ の放物弧を $(m,0),(m-1,1),\ldots,(0,m^2)$ を結ぶ折れ線に置き換えてできる格子多角形 $D'$ の面積を $S'_m$ とすると，1/6 公式から $S'_m=S_m+m\cdot\dfrac{1}{6}$ である．

$D'$ の内部の格子点は $T_m-L_m$ だから，ピックの公式から $S'_m=(T_m-L_m)+\dfrac{L_m}{2}-1=T_m-\dfrac{L_m}{2}-1$ となるので，
$T_m=S'_m+\dfrac{L_m}{2}+1$ $=\dfrac{m^3}{3}+\dfrac{m}{6}+\dfrac{m^2+2m}{2}+1$ $=\dfrac{2m^3+3m^2+7m+6}{6}$