1981年(昭和55年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.22記

[1] $\textsf{S}=\{1,\,2,\,\cdots\cdots,\,n\}$ ，ただし $n\geqq2$ ，とする． $2$ つの要素から成る $\textsf{S}$ の部分集合を $k$ 個とり出し，そのうちのどの2つも交わりが空集合であるようにする方法は何通りあるか．

つぎに，この数（つまり何通りあるかを表す数）を $f(n,k)$ で表したとき， $f(n,k)=f(n,1)$ をみたすような $n$ と $k$ （ただし， $k\geqq2$ ）をすべて求めよ．

[2] 半径 $1$ の円に内接する正 $6$ 角形の頂点を $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ，……， $\mbox{A}_6$ とする．これらから，任意に（無作為に）えらんだ $3$ 点を頂点とする $3$ 角形の面積の期待値（平均値）を求めよ．ただし， $2$ つ以上が一致するような $3$ 点がえらばれたときは，三角形の面積は $0$ と考える．

[3] 放物線 $y=x^2$ を $C$ で表す． $C$ 上の点 $\mbox{Q}$ を通り， $\mbox{Q}$ における $C$ の接線に垂直な直線を， $\mbox{Q}$ における $C$ の法線という． $0\leqq t \leqq 1$ とし，つぎの3条件をみたす点 $\mbox{P}$ を考える．

(イ) $C$ 上の点 $\mbox{Q}(t,t^2)$ における $C$ の法線の上にある．

(ロ) 領域 $y\geqq x^2$ に含まれる．

(ハ) $\mbox{P}$ と $\mbox{Q}$ の距離は $(t-t^2)\sqrt{1+4t^2}$ である．

$t$ が $0$ から $1$ まで変化するとき， $\mbox{P}$ のえがく曲線を $C'$ とする．このとき， $C$ と $C'$ とで囲まれた部分の面積を求めよ．

[4] 実数 $\alpha$ $\displaystyle \left( \mbox{ただし} 0 \leqq \alpha \lt \dfrac{\pi}{2} \right)$ と，空間の点 $\mbox{A}(1,1,0)$ ， $\mbox{B}(1,-1,0)$ ， $\mbox{C}(0,0,0)$ を与えて，つぎの4条件をみたす点 $\mbox{P}(x,y,z)$ を考える．

(イ) $z>0$

(ロ) $2$ 点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{A}$ を通る直線と， $\mbox{A}$ を通り $z$ 軸と平行な直線のつくる角は $\dfrac{\pi}{4}$

(ハ) $2$ 点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{B}$ を通る直線と， $\mbox{B}$ を通り $z$ 軸と平行な直線のつくる角は $\dfrac{\pi}{4}$

(ニ) $2$ 点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{C}$ を通る直線と， $\mbox{C}$ を通り $z$ 軸と平行な直線のつくる角は $\alpha$

このような点 $\mbox{P}$ の個数を求めよ．また， $\mbox{P}$ が1個以上存在するとき，それぞれの場合について， $z$ の値を， $\alpha$ を用いて表せ．

[5] $n\geqq3$ とし，正 $n$ 角錐(すい)の表面を，底面に含まれない $n$ 個の辺で切り開いて得られる展開図を考える．正 $n$ 角錐の頂点は，展開図においては，異なる $n$ 個の点になっている．ここでは，これら $n$ 個の点を通る円の半径が $1$ であるような，正 $n$ 角錐のみを考えることにする．