2018年(平成30年)東北大学後期-数学(経済学部)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.04.23記

[1] $xy$ 平面において， $x$ ， $y$ がともに整数であるとき，点 $(x,y)$ を格子点とよぶ． $m$ を正の整数とするとき，放物線 $y=x^2−2mx+m^2$ と $x$ 軸および $y$ 軸によって囲まれた図形を $D$ とする．

(1) $D$ の周上の格子点の数 $L_m$ を $m$ で表せ．

(2) $D$ の周上および内部の格子点の数 $T_m$ を $m$ で表せ．

(3) $T_m-\dfrac{m}{3}L_m$ の最大値とそのときの $m$ の値を求めよ．

本問のテーマ

ピックの公式

2022.04.23記
この問題をピックの公式で解いている人を見掛けないし，4年経っても使い所がなかったので公開しておく．

[解答]
(3) $T_m-\dfrac{m}{3}L_m=\dfrac{-m^2+7m+6}{6}$
はの軸は $m=3+\dfrac{1}{2}$ であるから， $m=3,4$ のときに最大値をとり，その値は $3$ である．