1981年(昭和56年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.22記

[1] $A=\begin{pmatrix} -1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix}$ とし，正の整数 $n$ について $\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ とおく．つぎに， $a$ を実数とし， $xy$ 平面上の点 $(x_n,y_n)$ と点 $(a,0)$ との距離を $d_n$ とする．このとき， $d_{n+1}\gt d_n$ がすべての正の整数 $n$ に対して成り立つような， $a$ の値の範囲を求めよ．

[2] $\mbox{A}$ が $100$ 円硬貨を $4$ 枚， $\mbox{B}$ が $50$ 円硬貨を $3$ 枚投げ，硬貨の表が出た枚数の多い方を勝ちとし，同じ枚数のときは引き分けとする．硬貨の表，裏の出る確率はすべて $\dfrac{1}{2}$ であるものとする．

(1) $\mbox{A}$ の勝つ確率， $\mbox{B}$ の勝つ確率，引き分けの確率を求めよ．

(2) もし，勝った方が相手の投げた硬貨を全部もらえるとしたら， $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ とどちらが有利か．

[3] $2$ つの放物線
$y=2x^2+1$ ……①
$y=-x^2+c$ ……②
の共通部分の方程式を求めよ．ただし $c$ は定数で， $c\lt 1$ をみたすものとする．

つぎに，共通接線と放物線①で囲まれた部分の面積を $S_1$ ，共通接線と放物線②で囲まれた部分の面積を $S_2$ としたとき， $\dfrac{S_1}{S_2}$ の値を求めよ．

[4] 実数 $\alpha$ $\displaystyle \left( \mbox{ただし} 0 \leqq \alpha \lt \dfrac{\pi}{2} \right)$ と，空間の点 $\mbox{A}(1,1,0)$ ， $\mbox{B}(1,-1,0)$ ， $\mbox{C}(0,0,0)$ を与えて，つぎの4条件をみたす点 $\mbox{P}(x,y,z)$ を考える．