2024-03-01

2024年(令和6年)京都大学-数学(理系)[3]

2024.04.13記(2024/04/13/143507)

[3] 座標空間の4点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ は同一平面上にないとする．線分 $\mbox{OA}$ の中点を $\mbox{P}$ ，線分 $\mbox{AB}$ の中点を $\mbox{Q}$ とする．実数 $x，y$ に対して，直線 $\mbox{OC}$ 上の点 $\mbox{X}$ と，直線 $\mbox{BC}$ 上の点 $\mbox{Y}$ を次のように定める．

$\overrightarrow{\mbox{OX}}=x\overrightarrow{\mbox{OC}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{BY}}=y\overrightarrow{\mbox{BC}}$

このとき，直線 $\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にあるための $x，y$ に関する必要十分条件を求めよ．

2024.04.16記
直線 $\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にあるための必要十分条件は，4点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{X}$ ， $\mbox{Y}$ を同時に含む平面が存在しないことである．

これは $\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PX}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PY}}$ が1次独立であることと同値で，多くの解答は
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ $=s\overrightarrow{\mbox{PX}}+t\overrightarrow{\mbox{PQ}}$
をみたす $s，t$ が存在しない条件を求める方針になっているが，行列式を知っていれば
$\mbox{det}(\overrightarrow{\mbox{PQ}},\overrightarrow{\mbox{PX}},\overrightarrow{\mbox{PY}})\neq 0$
が必要十分条件であることがわかり，行列式の性質から機械的に求めることができる．

[大人の解答]
$\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にあるための必要十分条件は「四面体 $\mbox{PQXY}$ の体積が0でないこと」である．

$\overrightarrow{\mbox{OP}}=\vec{p}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とおき，四面体 $\mbox{PQXY}$ の体積を $V$ とすると
$6V=\left|\mbox{det}(\overrightarrow{\mbox{PQ}},\overrightarrow{\mbox{PX}},\overrightarrow{\mbox{PY}})\right|$
$=\left|\dfrac{1}{2}\mbox{det}(\vec{b},\overrightarrow{\mbox{OX}}-\vec{p},\overrightarrow{\mbox{BY}}-\overrightarrow{\mbox{BP}})\right|$
$=\left|\dfrac{1}{2}\mbox{det}(\vec{b},x\vec{c}-\vec{p},y(\vec{c}-\vec{b})-\vec{p}+\vec{b})\right|$
$=\left|\dfrac{1}{2}\mbox{det}(\vec{b}, x\vec{c}-\vec{p} ,-\vec{p}+(1-y)\vec{b}+y\vec{c})\right|$
$=\left|-\dfrac{x}{2}\mbox{det}(\vec{b},\vec{c},\vec{p})-\dfrac{y}{2}\mbox{det}(\vec{b},\vec{p},\vec{c})\right|$
$=\left|\dfrac{x-y}{2}\mbox{det}(\vec{b},\vec{p},\vec{c})\right|$
であり， $\mbox{det}(\vec{b},\vec{p},\vec{c})\neq 0$ であるから，
$\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にあるための必要十分条件は $x\neq y$ である．

$\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PX}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PY}}$ が1次独立であるための必要十分条件を求める方針は次のようになる．
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ $=s\overrightarrow{\mbox{PX}}+t\overrightarrow{\mbox{PQ}}$
をみたす $s，t$ が存在しない条件を求めても良いが，
$\alpha\overrightarrow{\mbox{PQ}}+\beta\overrightarrow{\mbox{PX}}+\gamma\overrightarrow{\mbox{PQ}}=\vec{0}$
と $\alpha=\beta=\gamma=0$ が同値となる必要十分条件を求めることにする．

[解答]
直線 $\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にあるための必要十分条件は，4点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{X}$ ， $\mbox{Y}$ を同時に含む平面が存在しないことであり，これは
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PX}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PY}}$ が1次独立であることと同値である．

$\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とおくと
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}=\dfrac{1}{2}\vec{b}$ ，
$\overrightarrow{\mbox{PX}}=-\dfrac{1}{2}\vec{a}+x\vec{c}$ ，
$\overrightarrow{\mbox{PY}}=-\dfrac{1}{2}\vec{a}+(1-y)\vec{b}+y\vec{c}$
であるから
$\alpha\overrightarrow{\mbox{PQ}}+\beta\overrightarrow{\mbox{PX}}+\gamma\overrightarrow{\mbox{PY}}=\vec{0}$
は
$-\dfrac{\beta+\gamma}{2}\vec{a}+\dfrac{\alpha+2\gamma(1-y)}{2}\vec{b}+(\beta x+\gamma y)\vec{c}=\vec{0}$
と同値である．今， $\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ は1次独立であるから，
$\beta+\gamma=\alpha+2\gamma(1-y)=\beta x+\gamma y=0$
が成立する．よってこの条件が $\alpha=\beta=\gamma=0$ となる必要十分条件を求めれば良い．

$\beta+\gamma=\alpha+2\gamma(1-y)=\beta x+\gamma y=0$
は
$\gamma=-\beta$ ， $\alpha＝2\beta(1-y)=0$ ， $\beta (x-y)=0$
と同値だから，第3式より $x=y$ と仮定すると任意の $\beta\neq 0$ に対して，第1式と第2式から $\alpha，\gamma$ を求めることができてしまうので， $\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PX}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PY}}$ は1次独立にならない．

よって $x\neq y$ が必要で，このとき
$\gamma=-\beta$ ， $\alpha＝2\beta(1-y)=0$ ， $\beta=0$
であるから， $\alpha=\beta=\gamma=0$ となり十分である．

よって求める必要十分条件は $x\neq y$ である．

2024-03-01

2024年(令和6年)京都大学-数学(理系)[2]

2024.04.13記

[2] $|x|\leqq 2$ を満たす複素数 $x$ と， $|y-(8+6i)|=3$ を満たす複素数 $y$ に対して， $z=\dfrac{x+y}{2}$ とする．このような複素数 $z$ が複素数平面において動く領域を図示し，その面積を求めよ．

2024.04.13記15:03

[解答]
$y=8+6i+3(\cos\theta+i\sin\theta)$ ，
$w=\dfrac{x}{2}$ （ $|w|\leqq1$ ），

$v=\dfrac{y}{2}=3+4i+\dfrac{3}{2}(\cos\theta+i\sin\theta)$
とおくと，
$z=v+w$
であるから，中心 $4+3i$ ，半径 $\dfrac{3}{2}$ の円周上に単位円板 $|w|\leqq 1$ の中心がくるように単位円板を一周動かしたときの通過領域が求める領域となる．

よって求める領域は
$\dfrac{1}{2}\leqq |z-(4+3i)|\leqq\dfrac{5}{2}$
（図示略）
となり，その面積は $6\pi$ である．

2024-03-01

2024年(令和6年)京都大学-数学(理系)[1]

2024.04.13記

[1] $n$ 個の異なる色を用意する．立方体の各面にいずれかの色を塗る．各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする．辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を $p_n$ とする．次の問いに答えよ．

(1) $p_4$ を求めよ．

(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n$ を求めよ．

2024.04.13記(15:14)
十分 $n$ が大きいとき，各面に塗られる6つの色が異なる確率は1に近づくので(2)の答が1となることは予想できる．

[解答]
(1) 3つの面が互いに隣り合わせとなるので少くとも3色以上必要である．

(i) ちょうど3色用いるとき，向い合う3組の面は同じ色となるので ${}_4\mbox{P}_3=24$ 通り

(ii) ちょうど4色用いるとき，向い合う3組の面のうち2組は同じ色で，1組は異なる色となる．異なる色となるペアを選ぶ選び方が3通りで，その面の塗り方は $4\times 3=12$ 通り，残りの2組の塗り方は $2\times 1=2$ 通りなので，合計 $3\times 4\times 3\times 2\times 1=72$ 通り

以上から求める確率は $\dfrac{24+72}{4^6}=\dfrac{3}{128}$ となる．

(2) $n\geqq 6$ のとき， $p_n$ は異なる6色で塗る確率よりも大きいので
$\dfrac{{}_n\mbox{P}_6}{n^6}\leqq p_n\leqq 1$
が成立する．
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{{}_n\mbox{P}_6}{n^6}$
$=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{5}{n}\right)=1$
であるから，はさみうちの原理により
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n=1$ となる．

2024-02-29

2024年(令和6年)京都大学理学部特色入試・数理科学入試-数学[1]

2024.02.29記

[1] $2$ 以上の自然数 $n$ に対して， $n$ を割り切る素数の個数を $f(n)$ とする．例えば $n=120$ のとき， $120$ を割り切る素数は $2$ と $3$ と $5$ なので， $f(120)=3$ である．不等式 $f(n)\geqq\dfrac{\sqrt{n}}{2}$ を満たす $2$ 以上の自然数 $n$ をすべて求めよ．

2024.02.29記

[解答]
素数 $p_1，p_2，…，p_k$ を用いて
$n=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdot …\cdot p_k^{n_k}$
と素因数分解できたとき，
$f(n)\geqq\dfrac{\sqrt{n}}{2}$
は
$4k^2\geqq p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdot …\cdot p_k^{n_k}$
と同値である．

(i) $k=1$ のとき
$4\geqq p_1^{n_1}$
をみたすのは $(p_1,n_1)=(2,1)，(2,2)，(3,1)$ のみだから $n=2，3，4$ となる．

(ii) $k=2$ のとき
$16\geqq p_1^{n_1}p_2^{n_2}$
をみたすのは $n=6，10，12，14，15$ となる．

(iii) $k=3$ のとき
$36\geqq p_1^{n_1}p_2^{n_2}p_3^{n_3}$
をみたすのは $30$ となる．

(iv) $k=4$ のとき
$64\geqq p_1^{n_1}p_2^{n_2}p_3^{n_3}p_4^{n_4}$
をみたすのは $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210$ より存在しない．

以上から， $2，3，4，6，10，12，14，15，30$ である．

2024-02-29

2024年(令和6年)京都大学理学部特色入試・数理科学入試-数学

2024.02.29記

[2] $x^{100}-3x^{10}-2x-1=0$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ．

[3] 座標平面上の円 $D_1=x^2+y^2=64$ と円 $D_2=x^2+(y-4)^2=9$ に関して，以下の設問に答えよ．

(1) 座標平面上の3点 $(0,8)$ ， $(3\sqrt{7},1)$ ， $(-3\sqrt{7},1)$ を頂点とする三角形の外接円は $D_1$ であり，内接円は $D_2$ であることを示せ．

(2) $D_1$ が外接円であり，さらに $D_2$ が内接円である任意の三角形 $\triangle\mbox{ABC}$ に対して，実数 $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ を
$\alpha=\dfrac{\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}}{2}-\mbox{BC}$ ，
$\beta=\dfrac{\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}}{2}-\mbox{CA}$ ，
$\gamma=\dfrac{\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}}{2}-\mbox{AB}$
と定める．このとき $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=105$ が成り立つことを示せ．

[4] $t$ を実数とする．投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ であるコインを $10$ 回投げて，座標空間の点 $\mbox{P}_0$ ， $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_2$ ，…， $\mbox{P}_{10}$ を以下で定める．

$\bullet$ $\mbox{P}_0$ の座標は $(1,2,3)$ とする．

$\bullet$ $n$ を $1\leqq n\leqq 10$ を満たす任意の自然数とする． $\mbox{P}_{n-1}$ の座標が $(x,y,z)$ であるとき，もし $n$ 回目のコイン投げで表が出たなら $\mbox{P}_n$ の座標は $((1-t)x+ty,x,z)$ とし，裏が出たなら $\mbox{P}_n$ の座標は $(x,(1-t)y+tz,y)$ とする．

例えば $t=-1$ のとき，1回目のコイン投げで表，2回目のコイン投げで裏が出たなら， $\mbox{P}_0$ ， $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_2$ の座標はそれぞれ $(1,2,3)$ ， $(0,1,3)$ ， $(0,-1,1)$ となる．また $t=-1$ のとき， $\mbox{P}_1$ が取り得る座標空間の点は $(0,1,3)$ と $(1,1,2)$ の2個である．以下の設問に答えよ．

(1) $t=-1$ のとき， $\mbox{P}_3$ の座標が $(1,0,1)$ となる確率を求めよ．

(2) $\mbox{P}_{10}$ が取り得る座標空間の点の個数を $N(t)$ とする． $N(t)\geqq 250$ となる実数 $t$ が存在するかどうかを判定せよ．

2024.04.29記
試験80点満点，面接20点満点で合格最低点が77点だったようだが，開示祭の X(旧Twitter)がみあたらない

2024-02-29

2024年(令和6年)東京大学-数学(文科)[4]

2024.02.28記

[4] $n$ を5以上の奇数とする．平面上の点 $\mbox{O}$ を中心とする円をとり，それに内接する正 $n$ 角形を考える． $n$ 個の頂点から異なる4点を同時に選ぶ．ただし，どの4点も等確率で選ばれるものとする．選んだ4点を頂点とする四角形が $\mbox{O}$ を内部に含む確率 $p_n$ を求めよ．

2024.02.29記
円周上の3点を結ぶ三角形が $\mbox{O}$ を内部に「含まない」ことと，その三角形が鈍角三角形であることは同値となることは比較的良く出題される（ように思う）．このとき，三角形の最大辺をなす2点以外の残りの1点は，最大辺に対して $\mbox{O}$ と反対側にあることになることも良く知られている（ように思う）．

同様に，円周上の4点を結ぶ四角形が $\mbox{O}$ を内部に「含まない」ことを，最大辺をなす2点以外の2点は，最大辺に対して $\mbox{O}$ と反対側にあることと考えれば良いので，まず，この確率を求め， $n$ が奇数であることから四角形が $\mbox{O}$ を周上に含まないことから，1から引けば求める確率となる．

[解答]
円周の長さが $n=2k+1$ （ $k\geqq 2$ ）であるとし，基準点を $\mbox{P}_0$ とし，反時計回りに弧長1毎に $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_2$ ，…， $\mbox{P}_n$ とする．

(i) $n=5$ ，つまり $k=2$ のとき：
必ず $\mbox{O}$ を内部に含むので $p_5=1$ となる．

(ii) $n\gt 5$ ，つまり $k\gt 2$ のとき：
四角形の最大辺に対応する弧長が $s$ （ $3\leqq s\leqq k$ ）のとき，円周上の4点を結ぶ凸四角形が $\mbox{O}$ を内部に含まないこと，最大辺に対して $\mbox{O}$ の反対側に残りの2点があることは同値である．これは，図形を回転して最大辺が $\mbox{P}_0\mbox{P}_s$ となるように回転したときに，残りの2頂点 $\mbox{P}_u，\mbox{P}_v$ が $1\leqq u\lt\leqq k-1$ をみたすこととと同値となる．

そしてこの場合の数は
$\displaystyle\sum_{s=3}^{k} {}_{s-1}\mbox{C}_2$ $=\displaystyle\sum_{s'=1}^{k-1} {}_{s'}\mbox{C}_2$ （ $s'=1$ のときは ${}_{s'}\mbox{C}_2=0$ ）
$={}_{k}\mbox{C}_3$
となるので，円周上の4点を結ぶ凸四角形が $\mbox{O}$ を内部に含まない確率は $\dfrac{n\cdot {}_{k}\mbox{C}_3 }{{}_{n}\mbox{C}_4}$ となる．よって
$p_n=1-\dfrac{n\cdot {}_{k}\mbox{C}_3 }{{}_{n}\mbox{C}_4}$
$=1-\dfrac{4nk(k-1)(k-2)}{n(n-1)(n-2)(n-3)}$
$=1-\dfrac{(n-1)(n-3)(n-5)}{2(n-1)(n-2)(n-3)}$
$=1-\dfrac{n-5}{2(n-2)}$
$=\dfrac{n+1}{2(n-2)}$ （ $n=1$ でも成立）

よって
$p_n=\dfrac{n+1}{2(n-2)}$
となる．

2024-02-29

2024年(令和6年)東京大学-数学(文科)[3]

2024.02.28記

[3] 座標平面上に2点 $\mbox{O}(0,0)$ ， $\mbox{A}(0,1)$ をとる． $x$ 軸上の2点 $\mbox{P}(p,0)$ ， $\mbox{Q}(q,0)$ が，次の条件(i)，(ii)をともに満たすとする．

(i) $0\lt p\lt 1$ かつ $p\lt q$

(ii) 線分 $\mbox{AP}$ の中点を $\mbox{M}$ とするとき， $\angle\mbox{OAP}=\angle\mbox{PMQ}$

(1) $q$ を $p$ を用いて表せ．

(2) $q=\dfrac{1}{3}$ となる $p$ の値を求めよ．

(3) $\triangle\mbox{OAP}$ の面積を $S$ ， $\triangle\mbox{PMQ}$ の面積を $T$ とする． $S\gt T$ となる $p$ の範囲を求めよ．

2024.02.29記

[解答]
(1) $p=\tan\theta$ （ $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{4}$ ）とおくと， $\mbox{AR}\parallel\mbox{MQ}$ なる $x$ 軸上の点は $(\tan2\theta,0)$ だから， $\overrightarrow{\mbox{MQ}}=\dfrac{1}{2}(\tan2\theta,-1)$ となり，
$q=\dfrac{1}{2}\tan\theta+\dfrac{1}{2}\tan2\theta=\dfrac{1}{2}\left(p+\dfrac{2p}{1-p^2}\right)$ $=\dfrac{p(3-p^2)}{2(1-p^2)}$
となる（ $\tan2\theta\gt 0$ より $q\gt p$ を満たしている）．

(2) $\dfrac{p(3-p^2)}{2(1-p^2)}=\dfrac{1}{3}$ より
$(p-2)(3p^2+4p-1)=0$
となるが， $0\lt p\lt 1$ より
$p=\dfrac{-2+\sqrt{7}}{3}$
となる．

(3) $S=\dfrac{p}{2}$ ， $T=\dfrac{1}{4}(q-p)$
であるから， $S\gt T$ は $2p\gt q-p$ ，つまり
$3p\gt q=\dfrac{p(3-p^2)}{2(1-p^2)}$
と同値であり $0\lt p\lt 1$ から
$6(1-p^2)\gt 3-p^2$ ，つまり
$p^2\lt\dfrac{3}{5}$
となる．よって $0\lt p\lt\dfrac{\sqrt{15}}{5}$ となる．