2024年(令和6年)京都大学-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.04.13記(2024/04/13/143507)

[3] 座標空間の4点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ は同一平面上にないとする．線分 $\mbox{OA}$ の中点を $\mbox{P}$ ，線分 $\mbox{AB}$ の中点を $\mbox{Q}$ とする．実数 $x，y$ に対して，直線 $\mbox{OC}$ 上の点 $\mbox{X}$ と，直線 $\mbox{BC}$ 上の点 $\mbox{Y}$ を次のように定める．

$\overrightarrow{\mbox{OX}}=x\overrightarrow{\mbox{OC}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{BY}}=y\overrightarrow{\mbox{BC}}$

このとき，直線 $\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にあるための $x，y$ に関する必要十分条件を求めよ．

2024.04.16記
直線 $\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にあるための必要十分条件は，4点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{X}$ ， $\mbox{Y}$ を同時に含む平面が存在しないことである．

これは $\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PX}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PY}}$ が1次独立であることと同値で，多くの解答は
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ $=s\overrightarrow{\mbox{PX}}+t\overrightarrow{\mbox{PQ}}$
をみたす $s，t$ が存在しない条件を求める方針になっているが，行列式を知っていれば
$\mbox{det}(\overrightarrow{\mbox{PQ}},\overrightarrow{\mbox{PX}},\overrightarrow{\mbox{PY}})\neq 0$
が必要十分条件であることがわかり，行列式の性質から機械的に求めることができる．

[大人の解答]
$\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にあるための必要十分条件は「四面体 $\mbox{PQXY}$ の体積が0でないこと」である．

$\overrightarrow{\mbox{OP}}=\vec{p}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とおき，四面体 $\mbox{PQXY}$ の体積を $V$ とすると
$6V=\left|\mbox{det}(\overrightarrow{\mbox{PQ}},\overrightarrow{\mbox{PX}},\overrightarrow{\mbox{PY}})\right|$
$=\left|\dfrac{1}{2}\mbox{det}(\vec{b},\overrightarrow{\mbox{OX}}-\vec{p},\overrightarrow{\mbox{BY}}-\overrightarrow{\mbox{BP}})\right|$
$=\left|\dfrac{1}{2}\mbox{det}(\vec{b},x\vec{c}-\vec{p},y(\vec{c}-\vec{b})-\vec{p}+\vec{b})\right|$
$=\left|\dfrac{1}{2}\mbox{det}(\vec{b}, x\vec{c}-\vec{p} ,-\vec{p}+(1-y)\vec{b}+y\vec{c})\right|$
$=\left|-\dfrac{x}{2}\mbox{det}(\vec{b},\vec{c},\vec{p})-\dfrac{y}{2}\mbox{det}(\vec{b},\vec{p},\vec{c})\right|$
$=\left|\dfrac{x-y}{2}\mbox{det}(\vec{b},\vec{p},\vec{c})\right|$
であり， $\mbox{det}(\vec{b},\vec{p},\vec{c})\neq 0$ であるから，
$\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にあるための必要十分条件は $x\neq y$ である．

$\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PX}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PY}}$ が1次独立であるための必要十分条件を求める方針は次のようになる．
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ $=s\overrightarrow{\mbox{PX}}+t\overrightarrow{\mbox{PQ}}$
をみたす $s，t$ が存在しない条件を求めても良いが，
$\alpha\overrightarrow{\mbox{PQ}}+\beta\overrightarrow{\mbox{PX}}+\gamma\overrightarrow{\mbox{PQ}}=\vec{0}$
と $\alpha=\beta=\gamma=0$ が同値となる必要十分条件を求めることにする．

[解答]
直線 $\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にあるための必要十分条件は，4点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{X}$ ， $\mbox{Y}$ を同時に含む平面が存在しないことであり，これは
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PX}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PY}}$ が1次独立であることと同値である．

$\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とおくと
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}=\dfrac{1}{2}\vec{b}$ ，
$\overrightarrow{\mbox{PX}}=-\dfrac{1}{2}\vec{a}+x\vec{c}$ ，
$\overrightarrow{\mbox{PY}}=-\dfrac{1}{2}\vec{a}+(1-y)\vec{b}+y\vec{c}$
であるから
$\alpha\overrightarrow{\mbox{PQ}}+\beta\overrightarrow{\mbox{PX}}+\gamma\overrightarrow{\mbox{PY}}=\vec{0}$
は
$-\dfrac{\beta+\gamma}{2}\vec{a}+\dfrac{\alpha+2\gamma(1-y)}{2}\vec{b}+(\beta x+\gamma y)\vec{c}=\vec{0}$
と同値である．今， $\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ は1次独立であるから，
$\beta+\gamma=\alpha+2\gamma(1-y)=\beta x+\gamma y=0$
が成立する．よってこの条件が $\alpha=\beta=\gamma=0$ となる必要十分条件を求めれば良い．

$\beta+\gamma=\alpha+2\gamma(1-y)=\beta x+\gamma y=0$
は
$\gamma=-\beta$ ， $\alpha＝2\beta(1-y)=0$ ， $\beta (x-y)=0$
と同値だから，第3式より $x=y$ と仮定すると任意の $\beta\neq 0$ に対して，第1式と第2式から $\alpha，\gamma$ を求めることができてしまうので， $\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PX}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PY}}$ は1次独立にならない．