2024年(令和6年)京都大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.04.13記

[1] $n$ 個の異なる色を用意する．立方体の各面にいずれかの色を塗る．各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする．辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を $p_n$ とする．次の問いに答えよ．

(1) $p_4$ を求めよ．

(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n$ を求めよ．

2024.04.13記(15:14)
十分 $n$ が大きいとき，各面に塗られる6つの色が異なる確率は1に近づくので(2)の答が1となることは予想できる．

[解答]
(1) 3つの面が互いに隣り合わせとなるので少くとも3色以上必要である．

(i) ちょうど3色用いるとき，向い合う3組の面は同じ色となるので ${}_4\mbox{P}_3=24$ 通り

(ii) ちょうど4色用いるとき，向い合う3組の面のうち2組は同じ色で，1組は異なる色となる．異なる色となるペアを選ぶ選び方が3通りで，その面の塗り方は $4\times 3=12$ 通り，残りの2組の塗り方は $2\times 1=2$ 通りなので，合計 $3\times 4\times 3\times 2\times 1=72$ 通り

以上から求める確率は $\dfrac{24+72}{4^6}=\dfrac{3}{128}$ となる．

(2) $n\geqq 6$ のとき， $p_n$ は異なる6色で塗る確率よりも大きいので
$\dfrac{{}_n\mbox{P}_6}{n^6}\leqq p_n\leqq 1$
が成立する．
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{{}_n\mbox{P}_6}{n^6}$
$=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{5}{n}\right)=1$
であるから，はさみうちの原理により
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n=1$ となる．