[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2024年(令和6年)京都大学理学部特色入試・数理科学入試-数学[1]

2024.02.29記

[1] $2$ 以上の自然数 $n$ に対して， $n$ を割り切る素数の個数を $f(n)$ とする．例えば $n=120$ のとき， $120$ を割り切る素数は $2$ と $3$ と $5$ なので， $f(120)=3$ である．不等式 $f(n)\geqq\dfrac{\sqrt{n}}{2}$ を満たす $2$ 以上の自然数 $n$ をすべて求めよ．

2024.02.29記

[解答]
素数 $p_1，p_2，…，p_k$ を用いて
$n=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdot …\cdot p_k^{n_k}$
と素因数分解できたとき，
$f(n)\geqq\dfrac{\sqrt{n}}{2}$
は
$4k^2\geqq p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdot …\cdot p_k^{n_k}$
と同値である．

(i) $k=1$ のとき
$4\geqq p_1^{n_1}$
をみたすのは $(p_1,n_1)=(2,1)，(2,2)，(3,1)$ のみだから $n=2，3，4$ となる．

(ii) $k=2$ のとき
$16\geqq p_1^{n_1}p_2^{n_2}$
をみたすのは $n=6，10，12，14，15$ となる．

(iii) $k=3$ のとき
$36\geqq p_1^{n_1}p_2^{n_2}p_3^{n_3}$
をみたすのは $30$ となる．

(iv) $k=4$ のとき
$64\geqq p_1^{n_1}p_2^{n_2}p_3^{n_3}p_4^{n_4}$
をみたすのは $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210$ より存在しない．

以上から， $2，3，4，6，10，12，14，15，30$ である．