2024年(令和6年)東京大学-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.28記

[3] 座標平面上に2点 $\mbox{O}(0,0)$ ， $\mbox{A}(0,1)$ をとる． $x$ 軸上の2点 $\mbox{P}(p,0)$ ， $\mbox{Q}(q,0)$ が，次の条件(i)，(ii)をともに満たすとする．

(i) $0\lt p\lt 1$ かつ $p\lt q$

(ii) 線分 $\mbox{AP}$ の中点を $\mbox{M}$ とするとき， $\angle\mbox{OAP}=\angle\mbox{PMQ}$

(1) $q$ を $p$ を用いて表せ．

(2) $q=\dfrac{1}{3}$ となる $p$ の値を求めよ．

(3) $\triangle\mbox{OAP}$ の面積を $S$ ， $\triangle\mbox{PMQ}$ の面積を $T$ とする． $S\gt T$ となる $p$ の範囲を求めよ．

2024.02.29記

[解答]
(1) $p=\tan\theta$ （ $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{4}$ ）とおくと， $\mbox{AR}\parallel\mbox{MQ}$ なる $x$ 軸上の点は $(\tan2\theta,0)$ だから， $\overrightarrow{\mbox{MQ}}=\dfrac{1}{2}(\tan2\theta,-1)$ となり，
$q=\dfrac{1}{2}\tan\theta+\dfrac{1}{2}\tan2\theta=\dfrac{1}{2}\left(p+\dfrac{2p}{1-p^2}\right)$ $=\dfrac{p(3-p^2)}{2(1-p^2)}$
となる（ $\tan2\theta\gt 0$ より $q\gt p$ を満たしている）．

(2) $\dfrac{p(3-p^2)}{2(1-p^2)}=\dfrac{1}{3}$ より
$(p-2)(3p^2+4p-1)=0$
となるが， $0\lt p\lt 1$ より
$p=\dfrac{-2+\sqrt{7}}{3}$
となる．

(3) $S=\dfrac{p}{2}$ ， $T=\dfrac{1}{4}(q-p)$
であるから， $S\gt T$ は $2p\gt q-p$ ，つまり
$3p\gt q=\dfrac{p(3-p^2)}{2(1-p^2)}$
と同値であり $0\lt p\lt 1$ から
$6(1-p^2)\gt 3-p^2$ ，つまり
$p^2\lt\dfrac{3}{5}$
となる．よって $0\lt p\lt\dfrac{\sqrt{15}}{5}$ となる．