2024年(令和6年)京都大学理学部特色入試・数理科学入試-数学

2024.02.29記

[1] $2$ 以上の自然数 $n$ に対して， $n$ を割り切る素数の個数を $f(n)$ とする．例えば $n=120$ のとき， $120$ を割り切る素数は $2$ と $3$ と $5$ なので， $f(120)=3$ である．不等式 $f(n)\geqq\dfrac{\sqrt{n}}{2}$ を満たす $2$ 以上の自然数 $n$ をすべて求めよ．

[2] $x^{100}-3x^{10}-2x-1=0$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ．

[3] 座標平面上の円 $D_1=x^2+y^2=64$ と円 $D_2=x^2+(y-4)^2=9$ に関して，以下の設問に答えよ．

(1) 座標平面上の3点 $(0,8)$ ， $(3\sqrt{7},1)$ ， $(-3\sqrt{7},1)$ を頂点とする三角形の外接円は $D_1$ であり，内接円は $D_2$ であることを示せ．

(2) $D_1$ が外接円であり，さらに $D_2$ が内接円である任意の三角形 $\triangle\mbox{ABC}$ に対して，実数 $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ を
$\alpha=\dfrac{\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}}{2}-\mbox{BC}$ ，
$\beta=\dfrac{\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}}{2}-\mbox{CA}$ ，
$\gamma=\dfrac{\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}}{2}-\mbox{AB}$
と定める．このとき $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=105$ が成り立つことを示せ．

[4] $t$ を実数とする．投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ であるコインを $10$ 回投げて，座標空間の点 $\mbox{P}_0$ ， $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_2$ ，…， $\mbox{P}_{10}$ を以下で定める．

$\bullet$ $\mbox{P}_0$ の座標は $(1,2,3)$ とする．

$\bullet$ $n$ を $1\leqq n\leqq 10$ を満たす任意の自然数とする． $\mbox{P}_{n-1}$ の座標が $(x,y,z)$ であるとき，もし $n$ 回目のコイン投げで表が出たなら $\mbox{P}_n$ の座標は $((1-t)x+ty,x,z)$ とし，裏が出たなら $\mbox{P}_n$ の座標は $(x,(1-t)y+tz,y)$ とする．

例えば $t=-1$ のとき，1回目のコイン投げで表，2回目のコイン投げで裏が出たなら， $\mbox{P}_0$ ， $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_2$ の座標はそれぞれ $(1,2,3)$ ， $(0,1,3)$ ， $(0,-1,1)$ となる．また $t=-1$ のとき， $\mbox{P}_1$ が取り得る座標空間の点は $(0,1,3)$ と $(1,1,2)$ の2個である．以下の設問に答えよ．