[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1919年(大正8年)東京帝國大學理學部(物理科)數學[1]

[1] (a) \dfrac{d}{dx}\Bigl(\dfrac{x\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}+\log\sqrt{1-x^2}\Bigr)ヲ計算セヨ．

(b) r^2=(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2ナルトキ\dfrac{\partial^2\Bigl(\dfrac{1}{r}\Bigr)}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2\Bigl(\dfrac{1}{r}\Bigr)}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2\Bigl(\dfrac{1}{r}\Bigr)}{\partial z^2}=0 ナルコトヲ證セヨ．但x'，y'，z'ヲ常數トス．

2020.03.05記

(a) \dfrac{d}{dx}\sin^{-1}x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}に注意して微分すれば\dfrac{\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}^3}となる。

(b) \dfrac{\partial\Bigl(\dfrac{1}{r}\Bigr)}{\partial x}=\dfrac{d\Bigl(\dfrac{1}{r}\Bigr)}{dr}\cdot\dfrac{\partial r}{\partial x}=-\dfrac{1}{r^2}\cdot\dfrac{x-x'}{r}=-\dfrac{x-x'}{r^3}であるから、
\dfrac{\partial^2\Bigl(\dfrac{1}{r}\Bigr)}{\partial x^2}=-\dfrac{r^3-\left(3r^2\dfrac{\partial r}{\partial x}\right)(x-x')}{r^6}=\dfrac{3(x-x')^2-r^2}{r^5}
が成立する。よって
\dfrac{\partial^2\Bigl(\dfrac{1}{r}\Bigr)}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2\Bigl(\dfrac{1}{r}\Bigr)}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2\Bigl(\dfrac{1}{r}\Bigr)}{\partial z^2}
=\dfrac{3(x-x')^2-r^2}{r^5}+\dfrac{3(y-y')^2-r^2}{r^5}+\dfrac{3(z-z')^2-r^2}{r^5}=0