[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1959年(昭和34年)東京大学数学新課程数III[1]（旧課程解析II[2]）

[5] a，b を実の定数とするとき，定積分
\mbox{I}(a，b)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}(1-a\sin x-b\sin 2x)^2\,dx
を求めよ．また \mbox{I}(a，b) を最小にする a，b の値を定めよ．

旧課程には

ただし m を定数とするとき，
\dfrac{d}{dx}\sin mx =m\cos mx，\dfrac{d}{dx}\cos mx =-m\sin mx
である．

という但し書きがあった。

2019.04.03記

解説:
符号関数\mbox{sgn}\, xを用いて\displaystyle 2I(a,b)=\int_{-\pi}^{\pi}(\mbox{sgn}\, x-a\sin x-b\sin 2x)^2\,dxとかけるので、フーリエ級数展開の理論を用いると、
\displaystyle a=\dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\mbox{sgn}\, x \sin x dx=\dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}1\cdot \sin x dx=\dfrac{4}{\pi}，\displaystyle b=\dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\mbox{sgn}\, x \sin 2x dx=\dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}1\cdot \sin 2x dx=0となることがわかる。一般に，\displaystyle \mbox{sgn}\, x=\dfrac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2n-1} \sin (2n-1)xである。

なお、0でない整数m，nに対して\displaystyle \int_0^{\pi} \sin mx \sin nx dx=\dfrac{\pi}{2}\delta_{mn}であることを利用するとI(a,b)=\dfrac{\pi}{2}(a^2+b^2+2)-4aであることがわかる。