1999年(平成11年)東京大学後期-数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] (1) $n$ を正の整数とする． $-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ の範囲において
$f_n(x)=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{\sin nx}{\sin x} & -\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}\mbox{，}\, x \neq 0 \\ c_n & x=0 \end{array}\right.$
とおくことにより定義される関数 $f_n(x)$ が，連続関数となるように定数 $c_n$ の値を定めよ．

(2) $f_3(x)$ は $\cos x$ ， $\cos 2x$ 等を用いて表せることを示し，定積分 $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f_3(x)\,dx$ の値を求めよ．

(3) 任意の正の整数 $n$ に対して，定積分 $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f_{2n+1}(x)\,dx$ の値を求めよ．

2019.04.15記

第二種チェビシェフ多項式 $U(\cos x)=\dfrac{\sin nx}{\sin x}$ に関する問題。 $\sin (n+1)x + \sin (n-1)x =2\sin nx \cos x$ から $U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)$ が成立することは有名であるが、使わない。

(1) $c_n=n$

(2) $\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x$ だから、 $f_3(x)=3-4\sin^2 x=1+2\cos 2x$ となるので、 $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f_3(x)\,dx=\pi$

(3) $f_{2n+1}-f_{2n-1}=2\cos 2nx$ だから、 $\displaystyle I(n)=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f_{n}(x)\,dx$ とおくと、 $I(2n+1)-I(2n-1)=\displaystyle 2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos 2kx \,dx=0$ が成立し、よって
$I(2n+1)=I(3)=\pi$