2020年(令和2年)九州大学後期数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] 座標平面上の曲線 $C_1$ と $C_2$ をそれぞれ $C_1:y=ax^n（x\gt 0）$ ， $C_2:y=\log x（x\gt 0）$ 　とする．ただし， $n$ を2以上の整数， $a$
を実数とする．以下の問いに答えよ．

(1) $x\gt 0$ のとき， $\log x\lt x$ が成り立つことを証明せよ．

(2) 曲線 $C_1$ と $C_2$ が異なる2点で交わるための $a$ の条件を $n$ を使って表せ．

(3) $a$ が(2)で求めた条件を満たすとする．

曲線 $C_1$ と $C_2$ の異なる2つの交点 $P$ ， $Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $p$ ， $q$ とする．ただし $p\lt q$ とする．このとき， $p\lt \dfrac{q-p}{a(q^n-p^n)}\lt q$ が成り立つことを証明せよ．

2020.03.13記

[解答]

(1) 上に凸な関数 $y=\log x$ の $x=1$ における接線の方程式は $y=x-1$ だから $\log x\leqq x-1 < x$ が成立する．

注) $y=\log x$ の原点を通る接線は $y=\dfrac{1}{e}x$ だから、 $\log x\leqq \dfrac{1}{e}x < x$ と考えることもできる。

(2) (i) $a \leqq 0$ のとき、 $y=ax^n$ は単調非増加、 $y=\log x$ は単調増加であるから、交点は高々1つとなり不適。

(ii) $a > 0$ のとき、下に凸な関数 $y=ax^n$ と上に凸な関数 $y=\log x$ が接するとき、 $\log x=ax^n$ と $\dfrac{1}{x}=anx^{n-1}$ と $\log x=ax^n$ から $a=\dfrac{1}{ne}$ となる。よって $0 < a<\dfrac{1}{ne}$ が答。

注) 下に凸な関数 $y=ax^n$ と上に凸な関数 $y=\log x$ が接するとき、 $t=\log x$ とおくと $ae^{nt}$ と $t$ が接する、つまり $e^{t}$ と $y=\dfrac{t}{an}$ が接する。 $s=e^{t}$ の原点を通る接線は $s=et$ だから、 $a=\dfrac{1}{ne}$ と考えることもができる。

(3)（見るからに平均値の定理）

文字正、 $p,\,q$ は(2)の解だから $ap^n=\log p,\, aq^n=\log q$ となるので、
$\dfrac{1}{q}\lt \dfrac{\log q-\log p}{q-p}\lt \dfrac{1}{p}$
を示せば良い。 $f(x)=\log x$ とおくと、平均値の定理により、 $\dfrac{1}{r}=f'(r)=\dfrac{\log q-\log p}{q-p}$ （ $p < r < q$ ）なる $r$ が存在する。

$p\lt r\lt q$ より $\dfrac{1}{q}\lt \dfrac{1}{r}\lt \dfrac{1}{p}$ だから題意は示された。