2020年(令和2年)九州大学後期数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] 自然数 $n$ に対して定まる関数 $f_n(x)=1-\sqrt5|\sin(2n\pi x)|$ について，以下の問いに答えよ．

(1) 任意の実数 $x$ に対して $f_n(x)=f_n\Bigl(x+\dfrac{k}{2n}\Bigr)（k=1,2,\cdots,2n）$ が成り立つことを示せ．

(2) 区間 $\Bigl(\dfrac{k-1}{2n},\dfrac{k}{2n}\Bigr)（k=1,2,\cdots,2n）$ において $f_n(x)=0$ は相異なる2つの解を持つことを示せ．

(3) 区間 $[0,1]$ における方程式 $f_n(x)=0$ のすべての解の和を $S_n$ とおくとき，極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n}$ を求めよ．

2020.03.13記

[解答]

(1) $\sin\left\{2n\pi\left(x+\dfrac{k}{2n}\right)\right\}=\sin(2n\pi x)$ より
$f_n(x)=f_n\Bigl(x+\dfrac{k}{2n}\Bigr)（k=1,2,\cdots,2n）$ が言える。

(2) $f\left(\dfrac{k-1}{2n}\right) =1\gt 0, \, f\left(\dfrac{2k-1}{4n}\right) =1 -\sqrt{5}\lt 0$ でこの範囲で単調減少だから、この範囲に解は唯一。
$f\left(\dfrac{2k-1}{4n}\right) =1 -\sqrt{5} \lt 0, \, f\left(\dfrac{k}{2n}\right) =1\gt 0$ でこの範囲で単調増加であるから、この範囲に解は唯一。
よって題意は言える。