2019年(平成31年)千葉大学前期-数学[13] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.04.23記

[13] $a$ は実数とする．座標平面上で連立不等式
$y\geqq x^2$ ， $y\leqq(2a+3)x−a(a+3)$
の表す領域を $D(a)$ とおく．いま， $x$ 座標も $y$ 座標も整数であるような点を格子点と呼ぶことにする．

(1) $n$ を整数とする．このとき $D(n)$ に含まれる格子点の個数を求めよ．

(2) 任意の実数 $a$ について， $D(a)$ に含まれる格子点の個数と $D(a+1)$ に含まれる格子点の個数は等しいことを示せ．

2022.04.23記
問題[13]は医学部，理学部（数学・情報数理学科）用の問題

[解答]
(2) $X=x+1$ ， $Y=y+2x+1$ なる変換で格子点は格子点にうつされる．また，この変換の逆変換は
$x=X-1$ ， $y=Y-2X+1$
となるので，逆変換により格子点は格子点にうつされる．つまり，この変換によって格子点は一対一に対応する．

この変換による $y=x^2$ の像は $Y-2X+1=(X-1)^2$ ，つまり $Y=X^2$ である．また， $y\leqq(2a+3)x−a(a+3)$ の像は $Y-2X+1\leqq(2a+3)X-2a-3−a(a+3)$ より $Y\leqq(2a+5)X-(a+1)(a+4)$ となる．よって領域 $D(a)$ は領域 $D(a+1)$ にうつる．

この変換によって格子点は一対一に対応するので，任意の実数 $a$ について， $D(a)$ に含まれる格子点の個数と $D(a+1)$ に含まれる格子点の個数は等しい．

(1) より $D(0)$ に含まれる格子点の個数を求めれば良い．
$y\geqq x^2$ ， $y\leqq 3x$
に含まれる格子点の数は
$1+3+3+1=8$
であるから，
$D(n)=D(0)=8$

(1) $D(0)$ を求めるのにはピックの公式を使うまでもない．

(2) $a$ が整数でないとき，放物線と直線の交点が格子点とはならないので，ピックの公式を使うことはできない．

2022.04.28記
やっていることは，カヴァリエリの原理のようなもの．
$X_1=x$ ， $Y_1=y-x^2$
という変換によって格子点は1対1に対応し，このとき $D(a)$ は
$Y_1=(X_1-a)\bigl(X_1-(a+3)\bigr)$ と $X_1$ 軸で挟まれる部分の格子点の個数に等しい．