1997年(平成9年)東京大学後期-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.15記

[1] 右の図のように， $1$ 辺の長さが $1$ の正 $3$ 角形で，平面を分割する．

これらの $1$ 辺の長さが1の正 $3$ 角形1つ1つを，単位正 $3$ 角形とよぶことにする．はじめに1個以上有限個の単位正 $3$ 角形が塗りつぶされているとし，以下の操作を繰り返すことにより，次々に単位正 $3$ 角形を塗りつぶしていく．

『1回の操作ごとに，既に塗りつぶされている単位正 $3$ 角形と少なくとも1つの辺を共有する単位正 $3$ 角形を，すべて塗りつぶす』

次の問いに答えよ．

(1) はじめに塗りつぶされている単位正 $3$ 角形が $1$ つだけのとき， $n$ 回目の操作が終わったときに塗りつぶされている単位正 $3$ 角形の個数 $a_n$ を求めよ．

(2) はじめに $2$ 個以上有限個の単位正 $3$ 角形が塗りつぶされているとき， $n$ 回目の操作が終わったときに塗りつぶされている単位正 $3$ 角形の個数を $b_n$ とおくと，極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$ は，はじめの塗りつぶされ方がどのようであっても存在するか．極限が存在する場合については，その極限値を求めよ．存在しない場合があるならば，その例をあげよ．

[2] 座標平面上の点 $A(x,y)$ が次の連立不等式の表す領域を動くとする．
$\left\{\begin{array}{l}|xy|\lt 1 \\y\gt 0 \end{array}\right.$

関数 $y=\dfrac{1}{|x|}$ のグラフのうち， $x\lt 0$ の部分を $H$ ， $x\gt 0$ の部分を $K$ とする．
点 $\mbox{A}$ に対し， $x$ 軸上の $2$ 点 $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ，曲線 $H$ 上の点 $\mbox{D}$ ，曲線 $K$ 上の点 $\mbox{E}$ を次の条件によって定める．

『直線 $\mbox{AB}$ は， $2$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ の間の点 $\mbox{D}$ で曲線 $H$ に接し，直線 $\mbox{AC}$ は， $2$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{C}$ の間の点 $\mbox{E}$ で曲線 $K$ に接する』

(1) 三角形 $\mbox{ABC}$ の面積のとり得る範囲を求めよ．

(2) 三角形 $\mbox{ADE}$ の面積のとり得る範囲を求めよ．

[3] ボタンを1回押す毎に， $1$ 以上 $N$ 以下の整数を，同じ確率で1つずつ発生する機械がある．複数回ボタンを押した場合，どの整数が発生するかについての確率は，
どの回についても他の回とお互いに独立であるとする．この機械には，発生した整数の下 $4$ 桁のみを表示する表示装置が接続されており， $4$ 桁未満の数については，
欠けている桁に $0$ を入れて4桁にして表示される．たとえば，発生した整数が $925$ のときは $0925$ が， $12320$ のときは $2320$ が表示される．